函数中端点值为零的不等式恒成立问题解决策略

张 裕 鲁 倩

(江苏省句容高级中学 212400)

恒成立问题中，我们常常能见到类似命题“对于任意的x∈[a,+∞)，都有f(x)≥0成立.”如果注意观察的话，有一类题目是端点值f(a)=0.这类题型在高考中也经常作为压轴题出现，下面我们结合具体题目来深刻理解此类问题的本质，从而进一步培养和提高学生的数学核心素养.

一、函数在端点处为零，但导函数在端点处不为零

例1 已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a为正实数，且为常数).若不等式x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

注意此题当a>2时，导函数在端点处f′(1)=2-a<0，此种类型题目若用分离变量方法去做，势必要用到高等数学中的洛必达法则，而洛必达法则不属于普通高中数学课程标准内容，因此建议此种类型题目不要用分离变量方法去做，而是采取上述方法去解决.

二、函数在端点处为零，且导函数在端点处也为零

例2(2020全国Ⅰ卷理数21题)已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

解(1)f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)时，f(x)单调递增.

则当x∈(0,ln3)时，h′(x)

可证t(x)在[0,+∞)最小值为tmin(x)=t(0)=t(2)=0，则t(x)≥0，所以h(x)≥0.

因为ex≥x+1(等号当且仅当x=0成立)，所以x∈(0,+∞)时，t′(x)<0，t(x)单调递减.

函数中端点值为零的不等式恒成立问题，主要有以上两种题型.当我们遇到此种题型时，要根据上面的解题策略，快速判断是哪一种题型.总之，在平常教学中要让学生快速抓住这种数学题型本质，直击此问题核心，这样就会使学生的思维活跃起来，从而真正去培养和提升学生的数学素养，提高学生的解题能力.