一题多解突破一道质检压轴题

李昌成 车燕昭

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

一、题目呈现

二、总体认识

本题处于试卷小题压轴位置，以三角知识为背景，考查取值范围.创新之处在于通过正切一次关系式，导出正余弦一次商式，它们之间关系不熟悉.抽样发现，我的43名参考学生，仅1人得分，足以可见问题的难度(我校一本率为90%左右).因此我把此题当做一个研究素材开展了深入探索.

三、解法探究

1.从同角三角函数基本关系入手

对于(*) 的值域有4种处理方法：

2.从万能公式入手

分析已知条件是正切关系，而万能公式可以将所有三角函数化归为正切函数，所以可以通过升幂、扩角、降幂、化切把问题突破.

以下同解法1.

3.从函数角度入手

4.利用构造法，从已知入手，构造目标式

分析通过对已知正切关系式切化弦，构造出目标式，再求目标式的取值范围即可.减少题目的神秘感，缩近已知与未知间的距离.

5.从几何入手

分析tanB、tanC可以看作直角三角形的直角边的比值，借助关系式tanB=2tanC，把它们构造于共一直角边的两个直角三角形中，如图1.然后再在图中构造sinB、sinC，问题转化为关于比值的函数问题.

以下同解法1.

四、教学启示

1.加强知识生成教学

数学概念的建立，结论、公式、定理的证明，有助于培养学生数学思维.传统教学相对比较注重结果教学.学生应用知识时就显得比较困难.知识生成过程的教授至关重要，它不仅有利于培养学生的学习兴趣，还能提高学生的学习能力.数学的新教材很注重知识的引入和生成过程，这正是为了培养创新人才.因此我们应当改变那种害怕浪费课堂时间，片面追求提高学生方法运用能力的做法，应当结合教学内容，设计出利于学生参与认知的教学环节，把概念的形成过程、方法的探索过程，结论的推导过程、公式定理的证明过程等充分暴露于学生面前，让学生的学习过程变成自己探索和发现的过程，真正成为认知的主体，从而提高学习能力.在必修4有关三角函数的教学中，因为课时紧，公式多，很多老师不太重视公式的推导，学生只会套用公式解一些浅显易懂的题目，类似于本题这种需要对信息二次深度加工的题目就望尘莫及.

2.注重发散性思维培养

发散性思维要求从一个目标或思维起点出发，沿着不同方向，顺应各个角度，提出多种设想，寻求多种解题途径去分析和解决问题.数学发散性思维的培养途径有：(1)营造愉悦的发散思维情境，大胆开放教学过程；(2)加强基础知识的教学和基本技能的训练.学生掌握的知识、技能不仅必须准确无误和具有良好的巩固程度，而且要理解知识间的纵横联系，把握形式与实际的关系；(3)要帮助学生掌握一些解决问题的思想方法和数学方法.(4)注意从语言上来培养学生的发散性思维；(5)激励学生“联想、猜想”，培养学生的发散思维能力 ；(6)一题多解培养学生的发散性思维.教师通过一题多解的分析训练，让学生在普遍性中寻求规律性，要善于融入数形结合等数学思想于一体，优化解题方法，拓宽解题思路的广度和深度.

发散性思维是变通的，在教学中，对一些有代表性问题的解决，教师要充分利用学生学过的知识和技能，调动一切解题手段，从各个侧面论证同一命题的正确性.通过分析比较，让学生知道哪种方法灵活巧妙，具有思维的敏捷性、灵活性；哪种方法呆板冗繁，具有思维的局限性.本题解法中，比较可以发现，解法5(几何法)最为简洁直观.因为这貌似一个代数问题，三角问题，没经过训练，学生不会从几何角度来思考，错失良机.