画图法在解决问题中的运用

吴娜玲

摘 要：解决问题贯穿整个数学学习过程，解决问题包含的信息多、综合性强，而小学生的具象思维占主体地位，对题意的理解、有用信息的提取存在一定的难度，通过画图可以帮助学生理解题意、分析数量关系，有利于培养学生的应用意识，使学生更好地解决问题，但不同的题目适用不同的画图方法，要求学生在学习过程中善于积累、善于归纳，这样才能做到心中有“图”，才能巧妙应用画图法解决各种问题。

关键词：解决问题;画图法;解题方法

数学是一门逻辑性、抽象性和应用性很强的学科，解决问题是数学学科的重要部分。小学生分析问题的能力较弱，对问题的解决感觉到困难，尤其遇到比较难解决的问题时，学生如何正确分析理解数学信息，总结数学方法呢？其实可以通过画图法帮助理解题意，把问题直观化，这样既简明又快捷。教材也一直渗透着画图解决问题的方法，如低年级的课本中有各种主题图、插图等，直观的课本主题图可以帮助低年级学生更好地理解题意。到了高年段后，解决问题蕴含的知识点更多，综合性更强了，但学生可以把问题的有用信息提取出来，尝试着用画图来帮助理解数量关系，把问题转化为直观的示意图。我相信，解决问题肯定事半功倍。

画图法对问题的解决如此重要，不同的题型适用不同的画图法，要善用画图法，才能巧解问题，以下与大家谈谈几个用画图法来解决问题的常见例子。

一、多用线段图，解决行程问题

“行程问题”是小学解决问题的重点部分，虽然行程问题在生活中经常遇到，但对学生来说只是初步感知，很少系统的学习，因此对行程问题比较难以把握。在行程问题中，最典型的画图法就是线段图。例如：小红的速度60米/分，小兰的速度50米/分，两人同时从家出发相向而行，5分钟后擦肩而过又相距40米，两家相距多少米？在笔者所任教的班级，一个班47名学生，本题正确率是68.1%，提示学生画线段图帮助解决问题后，正确率提升到87.2%，这深刻体现了画图策略的实际价值。

讲述时，学生说了两种方法，分别是图1与图2，图1着重引导学生理解重复的部分要减掉，图2着重引导学生理解两段拉开后相连多了一个40，因此要减去40，在说题过程中，学生把整个过程一步步用画图表示出来，通过线段图，学生突破了难点：为什么要减40。由此可见线段图在解决行程问题中的作用。小学生思维受具体事物支持，借助画图，通过图与文字的结合，将学生头脑中的资源与眼前的画面产生联系，使学生对整体中的各个重要部分及其关系的把握一目了然，可以促进学生知识生成，提高学习能力。

二、善用立体图，解决图形几何问题

图形几何是小学的重要组成部分，五年级下册的长方体与正方体的认识这一单元，知识点不多，但解决问题的知识点考查方式却有很多的变化，学生经常感到混乱，无法掌握，若能画出立体图，把各个数据标出，整个题目会更直观、形象。例如：一个长方体钢材，从上面截下一个高是3厘米的长方体后，剩下一个正方体，正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了48平方厘米，求原来长方体的体积。本题的正确率很低，47名同学只有2名同学做对，学生普遍表示对题意的理解存在困难，而对学生来说，画出准确的长方体也有一定的困难，因此我鼓励学生在草稿纸上画出立体图，即使是不那么准确的立体图也可以，主要是帮助理解题意，理清现在的正方体和原来的长方体之间的联系，立体图可以直观体现出缺少的表面积其实就是被切下来的长方体的4个侧面，既然切割完后的立体图形是正方体，说明原来的长方体是上下面为正方形的长方体，所以这四个面面积相等，就用48÷4=12（平方厘米），12÷3=4（厘米），原来的长方体的长等于4厘米，宽等于4厘米 ，高等于4+3=7厘米，所以体积就可以用4×4×7算出来。

小学生的空间感较差，通过画图可以帮助培养学生空间想象能力，教材也是这样做的。观察六年级数学课本上圆柱体积公式的推导过程，也可以发现画立体图形的妙处，从课本上的立体图形我们很容易看出圆柱的底面半径等于长方体的宽，圆柱的高等于长方体的高，圆柱的底面周长的一半等于长方体的长，这样通过转化可以由长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式，诸如此类的题目，如果没有通过画图来直观体现数量之间的关系，而是单纯记忆公式解题，就如囫囵吞枣，知其然而不知其所以然。

三、巧用示意图，解决鸡兔同笼问题

大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中就记载了一个有趣的问题——“鸡兔同笼”问题。[1]“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”本题的数据比较大，因此，在研究过程中我们一般把数据换小，便于寻找规律。例如，鸡兔同笼，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？这里还隐含着常识：鸡有2只脚，兔子有4只脚，在探究前，先让学生仔细审题，读懂所给条件和隐藏条件再进行思考。这道题有两个未知数，鸡和兔的只数都不知道，问题难度较大，画图时，可以画八个圆当作动物的头，画小竖线当作动物的脚。假设这8只都是鸡，每只鸡画上2只脚。画完后发现只有16只脚，但题目中说的是26只脚，还差10只，这时再给一只鸡画上2只脚，发现还要在5只鸡上各画2只脚，这样有4只脚的鸡其实就是兔子。所以结论是兔有5只，鸡有3只。[2]同样的，也可以把这8只动物全当成兔，这样给每只兔画上4只脚，这样就有32只脚，比题目中的26多了6只脚，这6只就是把3只鸡当成了兔，每只多算了两只脚。结论也是兔有5只，鸡有3只。

鸡兔同笼属于数学广角的一个内容，数学广角意在传递数学思想，这对学生来讲是一个难点，通过画图法学生能更好地理解假设法，突破难点，从而解决鸡兔同笼问题。同样，也能采用画图法解决数学广角中的其他题目，例如“搭配问题”“植树问题”等，学生要大胆地把题目转化成示意图，多实践、多操作，才能加深对数学广角知识的理解，更好地把握数学思想。

四、活用集合图，解决容斥问题

集合图，也是画图法中常见的一种，对容斥问题的解答有出奇制胜的功效。例如：六（2）班学生45人，其中参加数学兴趣小组的有20人，参加语文兴趣小组的有18人，两组都没参加的有10人，有几个人既参加语文兴趣小组，又参加了数学兴趣小组？这个题目有好几个数据，又有交集与并集的知识在里面，我们要懂得用集合图解决此类解决问题。从集合图发现总共有18+20+10=48人，比45人多了3人，并且有一部分是两个集合共有的。比总人数多了的3人，就是这共有的部分计算了两次，也就是既参加语文又参加数学的学生被多算了一次，因此比总人数多的那部分就是既参加语文又参加数学的学生。原本无从下手的题目，通過集合图的呈现，直观出示了重复的那部分学生，数据之间的关系一目了然，简单易懂。

在课堂中，教师要引导学生利用画图来帮助理解题意，理清数量关系，从而列出式子解答问题。解答解决问题要循序渐进，以画图为方法，把抽象复杂的问题转化为形象简单的数量关系，教学过程科学有效，同时也能充分发挥学生的主观能动性，让他们去说、去听、去画、去写、去想，多感官学习数学。但要注意的是，画图是帮助学生理解数量关系，从而解决问题的，它不是一幅美术作品，而且在平时练习，尤其是考试当中，时间是十分宝贵的，因此要尽量让画图简化快捷，走“简笔画”路线，这样可以节省时间，更具有实际意义。当然解决问题的题型还有很多，不同的题型可以选用不同的画图法，这就要求学生善于积累、善于归纳，这样才能做到心中有“图”，才能在遇到难题时能够自如地选用适当的画图法来帮助解答。

参考文献：

[1]杨忠.关于“鸡兔同笼”问题的思考[J].教育实践与研究（A），2013（6）.

[2]吴良标.浅谈“鸡兔同笼”中的一题多解[J].中小学数学（小学版），2011（z2）.