高中生学习微积分的困境及教学策略

张家瑞 王鑫

[摘           要]  介绍高中生在学习微积分中遇到的一些问题及相对应的教学策略，探讨微积分在高中教学中的现状，包括微积分中有关问题的处理与研究、导数与积分在高考中的命题、微积分与其他知识点相关联的应用举例，并列举了高中生学习微积分的困境，最后还提出了一些针对高中生微积分的学习策略，包括重视教学策略和教育观念的更新、重视现代教育技术的使用、利用数形加强学生对抽象概念的理解，营造积极的课堂氛围。

[关    键   词]  微积分;高中数学教育;教学策略

[中图分类号]  G633.6                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2021）20-0180-02

一、引言

微积分经历了数百年的发展，其思想在实际生活中逐渐渗透，教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《数学课程标准》）对高中微积分的教学提出了更高的要求，通过学习微积分的相关知识，对学生在解题思路的拓展及后续的学习中都有十分重要的影响。因此，对高中微积分教学方法的研究成为数学教师教学研究的新课题，文章最后提出了几点针对《数学课程标准》背景下高中微积分的教学策略。

二、微积分在高中教学中的现状

（一）微积分中有关问题的处理研究

《数学课程标准》对微积分的教学这一方面进行了重大调整，主要加强了对导数和积分应用的教学。《数学课程标准》在导数及其应用课程的教学上做出的调整主要包括：（1）强调微分概念的本质。在以往的教科书中，学生一开始对极限的概念并不理解，这会影响学生对导数本质的理解和掌握。因此，《数学课程标准》在这方面有了很大的改变，极限的概念暂且不谈，而是通过对实际的背景和具体例子的应用，在速度、效率、成长率等实例中来反映导数的思想和本质，引导学生从函数的平均变化率到瞬间变化率再到导数的概念的过程，从具体到抽象，这样可以更好地引导学生对导数本质的理解和掌握。（2）强调导数在研究事物变化速度、变化率以及对函数的基本性质和优化问题等方面的应用。通过与之前方法相比较，可以感受到导数在处理这些问题中的有效性和一般性。这部分教育内容的改革确实具有创新性，体现了数学理论的新应用。

（二）导数与积分在高考中的命题

导数这部分的派生词在高考的各种问题中都出现过。研究的方向一般是验证导数和函数的单调性，验证导数和函数的最大值和最小值，验证导数和函数图象的切线问题，考查导数和函数不等式的证明，将导数问题和函数建模（应用题）作为导数与其他知识点相结合来考查，其考查范围比较广，因此进入中学的课程时间虽不长，但已经是一个重要的考点了，同时也受到许多命题老师的青睐。对导数这方面具体考查的方向在判定函数的单调性和极值、讨论方程的根，证明不等式和恒等式、求切线方程以及求平面区域面积等方面的应用。

（三）微积分与其他知识点相关联的应用举例

微积分在解决数学问题上的用途更为广泛。在新课标中，中学微积分的导数教学主要将讲课重点放在应用价值上。以下是应用举例。

例：某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为C=C（q）=100+4q-0.2q2+0.01q3。求生产水平为q=10（万件）时的平均成本及边际成本，并判断继续提高产量是否有利于降低成本。

解：当q=10时，总成本为：

C（10）=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（万元）

所以平均成本（单位成本）为：

C（10）÷10=130÷10=13（元/件）

边际成本MC=C′（q）= 4-0.4q+0.03q2

MC=4-0.4×10+0.03×102=3

因此，在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量。

边际收益函数：

总收益函数R=R（Q），

边际收益函数R′=R′（Q）

當商品销售量为Q0时的边际收益用R′（Q0）来表示，其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增加或减少一个单位产品，则收益将相应地增加或减少R′（Q0）个单位。总收益TR为产量Q与价格P的乘积，即TR=P×Q，总利润为总收益TR与总成本TC的差值，即π=TR-TC。

三、高中生微积分学习困境分析

高考对微积分内容的考查在难度及分量上的要求比较严格，这便使影响学生学习微积分的问题层出不穷，文章主要对以下三个问题进行分析。

（一）高中生的“自主性”学习习惯未能及时形成，学习枯燥无味

初中阶段，教师在课堂中的主体性比较明显，学生基本上是接受知识的对象，主体对客体的主动性影响很大。有的教师盲目追求班级的升学率，让学生靠死记硬背来解决一些常见的数学难题。利用充足的上课时间讲更多的题，但是一些学生根本不懂其知识本身的意义。在高中阶段，学生逐渐成为课堂的主体，教师变成了引导和延伸学生的知识的存在。由于高中的学科比初中多，而且数学的内容比初中要深得多，每节课学习的知识量非常大，容易造成学生神经疲劳、注意力不集中、兴趣减弱，甚至导致每节课学到的知识微乎其微，长此以往，以前学过的知识也会逐渐丢弃。