为“真学”而教*——对二下“角的初步认识”教学中“假学”的叩问与应答

谢红芳

近些年，众多教育界有识之士发出“让学习在课堂上真正发生”的呼吁。笔者不禁思考：在当下的数学课堂上，学生的学习是否都是“真学”？在各级教研活动中，笔者听过不少教师教学苏教版二下“角的初步认识”，发现的确存在着不少“假学”现象。笔者认为：教学，不仅要为“学”而教，更要为“真学”而教。

一、真学，基于儿童立场

冯卫东先生说：尊重儿童，用儿童的眼睛看世界，以儿童的心灵做教学。对数学教学而言，找准儿童学习的兴趣点、起始点、障碍点，是从儿童立场出发的“真教”，学生也才能发生“真学”。

【案例叩问】此“角”非彼“角”？

师（出示图1）：角就藏在我们身边。瞧，明明和红红正在做手工，你能从中找到角吗？

生1：纸工袋上有角，三角尺上有角，桌面上有角。（生指的是物品上凸起的部分）

生2（指着剪刀两个手柄之间）：剪刀上有角。

（图1）

…………

师：这些都是生活中的角，那数学中的角是什么样子的呢？今天这节课，我们就来研究数学中的角。

类似上述案例，引导学生从“熟悉的生活场景中找角”导入新课的做法很常见，可学生找到的大多并不是角。仔细想来：学生还不知道数学中的角是什么样子，怎么能正确地从生活中找到角呢？那么，在学生的已有认知中，角是什么呢？笔者课前调查发现，学生对角主要有以下认识：角是一种尖状的物体，如牛角、羊角等；角是物品上凸起的部分，如桌角、墙角、衣角等；角是人民币的单位，如1角、5角……显然，这些与数学中角的概念差异较大或根本无关。课始就让学生找角，反而会对学生认识角造成干扰，这种有悖于儿童立场的“假学”无疑浪费了有限的课堂时间。笔者认为，应把“从生活中找角”这个环节适当后移：先引导学生初步建立角的正确表象，再从生活中找角，并逐步抽象出角，然后再进一步研究角。

【实践应答】

师：今天，老师带来了一本电子数学绘本《线兄弟手牵手》。三兄弟围成了什么图形？（如图2）

（图2）

生：三角形。

师：一个线兄弟摔了出去，剩下的两个线兄弟组成了一个新图形（如图3），你认识吗？

生：我认识，它是角。

课件动态演示两个分开的线兄弟手拉手组成角的过程。

师：两个线兄弟是怎么组成角的呢？

（图3）

生：两个线兄弟手拉手组成了角。

师：这节课我们就来与角交朋友。（板书课题：角的初步认识）

师：角就藏在我们身边，你能在三角尺、纸工袋和钟面上找到角吗？

…………

师：在三角尺上，你能找到角吗？

生（手指着角的顶点处）：这是一个角。

师：对照角的样子，你指的是什么地方？

生（继续指着两条线）：我指的是拉手的地方，还有两个线兄弟。

…………

笔者课前调查中设计了这样一个问题：“角是什么样子的？你能画出来吗？”不少学生画的是三角形。障碍在哪里，突破口往往就在哪里。笔者创编了“线兄弟手拉手”的绘本故事，生动的形象一下就抓住了学生的兴趣点，扫清了学生学习的障碍点，帮助学生在大脑中初步建立起角的表象。在此基础上，引导学生到生活中找角，有效帮助学生避免了原有模糊认知对其认识角的干扰。

二、真学，抓住学科本质

教师只有在教学中把握住数学本质，学生的“真学”才有可能发生。

【案例叩问】角的顶点是尖尖的吗？

师：请大家拿出一把三角尺，找到其中一个角摸一摸。（师示范摸角的顶点）

师：你有什么感觉？

生1：我感觉角是尖尖的。

生2：我感觉角刺得手有点疼。

师：真好！刚才你们摸到的尖尖的、刺刺的是一个点，叫作角的顶点。再从顶点开始，这样顺着慢慢摸，又是什么感觉？（师示范摸角的边）

生1：我感觉平平的。

生2：我感觉滑滑的。

师：刚才大家摸到的平平的、滑滑的线，就是角的边。谁能介绍一下其他角的顶点和边？（生介绍）

师：仔细观察，不同的角有什么相同的地方呢？

生1：我发现角都有一个顶点。

生2：角都有两条边。

生3：角的顶点都尖尖的，边都直直的。

师：同学们自己发现了角的特点，真了不起！角有一个尖尖的顶点和两条直直的边。

教师示范到位，学生兴趣盎然，这个片段被不少教师效仿甚至奉为“经典”。可仔细琢磨：平角和周角的顶点也是尖尖的吗？优角（大于平角小于周角的角）呢？显然不是。这种看似生动形象的说法其实是错误的，角也是无法通过触摸而感知的。真学，首先应当是正向的、正确的，负向的、错误的学习只能算是“假学”。

【实践应答】

课件动态演示从实物中抽象出角的过程。（如图4）

（图4）

师：仔细观察，角有什么共同点呢？

生1：它们都有两个线兄弟。

生2：两个线兄弟都是直直的。

生3：两个线兄弟都手拉着手。

师：两个线兄弟手拉手的地方可以看作一个点，叫作角的顶点；从顶点出发的两条直直的线兄弟也有名字，叫作角的边。

师：谁来介绍另外两个角的顶点和边呢？

…………

师：角有几个顶点和几条边？

生：角有一个顶点和两条边。

上述案例紧紧抓住“两个直直的线兄弟”“手拉着手”这两个关键要素，直观、形象，既巧妙地避开了角的概念，又让学生感悟到角的本质属性，做到了“隐”“显”兼顾、“近期”和“远期”目标相结合，为其后续进一步学习角和其他几何图形奠定了基础。

三、真学，指向学生发展

真学有没有发生，谁说了算？教师自我感觉良好的课，课堂上发生的未必都是“真学”。那学生说了算吗？事实上，学生喜欢的课也未必是好课，“真学”也未必真正发生。笔者认为：学生在知识能力、过程方法、情感态度等方面是否有较多获得、较大发展应当成为评价“真学”是否发生的标准。为“真学”而教，就要为学生的发展而教，不仅指向学生当下的发展，而且指向学生未来的发展。

【案例叩问】角的大小与两条边的长短无关？

师（课件出示图5）：红角（左边的角）和蓝角（右边的角）相比，哪个大？

生：红角大。

师：其他同学觉得呢？

生：我觉得蓝角大。

师：还有不同的想法吗？

（图5）

生：一会儿红角大，一会儿蓝角大。

师：咦？两个角的大小都没变，怎么一会儿红角大，一会儿蓝角大呢？再好好想想。

生：红角和蓝角一样大。

师：到底谁的眼力准呢？

课件演示把蓝角左移，让红角和蓝角的顶点与两条边都重合。

师：你有什么发现呢？

生1：红角的边长，蓝角的边短，但红角和蓝角一样大。

生2：角的大小与边的长短无关。

…………

在上述教学片段中，几乎所有学生最初都认为红角大。但由于没有得到教师的认可，学生一路察言观色一路猜。这不就是“假学”吗？这样的“假学”还让人忧虑：如果学生看着教师的脸色、揣摩着教师的心思上数学课，何谈思维能力的培养？又何谈求是态度和理性精神的培养呢？角的两条边是射线，射线本身就无限长。这不仅是“假学”，更是“错学”，学生“错学”的根本原因正是教师的“错教”。如何更好地实现学生对“角的大小与两条边张开的程度有关”的深度理解，排除角“所画或所见边的长短”的负干扰呢？让学生意会而不言传是不是更为恰当呢？

【实践应答】

师：同学们，角娃娃可调皮啦！

课件演示第一个角的一条边逆时针旋转形成两个角。（如图6）

（图6）

师：调皮的角在变呢，比一比，你有什么发现？

生1：我发现角的两条边张开得越来越大了。

生2：第一个角最小，第二个角中等大，第三个角最大。

师：你们发现角有大有小。想不想玩玩角？

生：想！

师：先利用桌上信封里的材料（同桌两人信封里的纸条长短不同）创造一个角，再玩一玩。

师：谁愿意当角娃娃带大家玩一玩角？

学生代表戴上角娃娃头饰，举“变大”或“变小”的口令牌，组织全班学生玩角。

师：有什么发现？在小组里交流。

生1：要把角变大，就要把两条边张开一些；要把角变小，就要把两条边合拢一些。

生2：角的两条边张开得越大，角就越大；角的两条边张开得越小，角就越小。

师（竖起大拇指）：同学们不但会玩，在玩中收获还不小！

师：同桌两人都有角，你们能让两个角变得一样大吗？

虽然同桌两人的纸条长短不同，但两人都不约而同把两个角的顶点对齐、两条边对齐。

上述教学中，教师通过课件呈现动态的角，向学生渗透关于角概念的动态定义，帮助学生在抽象的数学世界里生动地感悟角的大小变化；再放手组织全班学生玩活动角，使学生在“玩”中发现角大小变化的奥秘；在学生积累了丰富的活动经验的基础上，当教师提出“同桌两人把角变得一样大”的任务时，学生纷纷忽略纸条有长有短的所见事实，把顶点和两条边重合在一起，说明“角的大小与所画或所见边的长短无关”这一认识已经深入学生内心。学生已经有如此意会，还需言传吗？笔者认为：发乎学生内心的“学”才是“真学”，达到师生心灵相契的“教”才是真教。

总之，教学是教与学相结合或相统一的活动。只有学没有教，或者只有教没有学，都不是“教学”的完整概念。在“以学为核心”的理念下，我们不仅要警惕“假学”乱象，也要警惕过于重“学”而轻“教”的倾向。实际上，没有高水平的“真教”，就不可能有高水平的“真学”，让我们致力于为“真学”而教！