“线性回归方程”教学设计

朱婷婷

摘  要：运用线性回归方程分析数据是一种对两个数值变量进行数据分析的方法. 本节课通过新冠肺炎疫情真实情境，让学生主动提出问题，引领建立模型、写出“恰当”的直线方程和探究“恰当”的直线标准三个课堂活动，通过独立思考、合作探究、技术辅助，引导学生逐步获得线性回归方程的概念及经历较为系统的数据分析过程，最终提升学生的数学学科核心素养.

关键词：线性回归;单元教学;数学建模;数据分析;自主探究

一、教学内容解析

统计学是研究收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据. 从义务教育阶段来看，统计知识的教学从小学到初中都有涉及，在每个阶段学生都会学习收集、整理、描述和分析等处理数据的基本方法，教学目标随着学段的升高逐渐提升. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求，在义务教育阶段已学习的统计知识的基础上，通过具体实例，进一步学习统计的相关知识.

苏教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第二册第9章“统计”是在前面所学的统计知识的基础上，结合典型案例给出几种常用的统计方法，体现了统计的基本思想及其初步应用. 本节课“线性回归方程”是在学生学习了变量的相关性的基础上，探究了线性回归方程，并运用线性回归方程对相关量进行估计，为利用线性回归方程处理现实问题奠定基础.

二、教学目标

本节课教学目标设置如下.

（1）了解线性回归模型的含义、模型参数的统计意义、最小二乘原理，掌握线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相应的统计软件.

（2）学生通过独立思考、自主探究、合作交流，提高从数学角度发现和提出问题、分析及解决问题的能力.

（3）通过对生活中典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据分析过程，提升数学学科核心素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，最终达到立德树人的目的.

三、学情分析

本节课的授课对象是江苏省四星级重点高中高二学生，已学习过统计学基础知识，面对新问题具有一定的探究能力与学习经验，但是学生用数学语言表达观点的能力仍然不足，对数据分析过程较为系统的认识不够深刻.

教学难点：通过数学方法刻画“恰当”的直线.

突破策略：以问题驱动教学，小组合作探究，计算机辅助教学.

四、教学策略分析

以明、暗两条线贯穿本节课.

本节课明线：“线性回归方程”概念的获得. 概念的获得要经历从宏观到微观、从感性到理性、从模糊到清晰的过程. 经历如下四次提炼：选择模型类别，完成定“形”;基于已有经验，以“形”定“数”;探究“恰当”的标准，给典型案例定“数”;从特殊到一般，获取线性回归方程的概念.

本节课暗线：数据分析的过程与方法，即收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获得结论. 这将是贯穿本节课始终的统摄性“大观念”.

五、教学过程设计

1. 创设情境，提出问题

情境：新冠肺炎疫情是全球关注的热点，对数据的统计分析在帮助我们认识及研究疫情的过程中发挥了巨大的作用. 例如，通过表格、饼图、折线图我们能直观了解当时疫情的状况及一些变化规律. 钟南山院士带领团队利用当时仅有的数据进行分析，研究出疫情发展趋势模型，对疫情的发展做出了精准的预测，为做出科学的决策奠定了基础. 事实上，干扰数据分析的因素非常多，目前我们还处理不了复杂的情况，所以就先来研究疫情刚发生时某省卫生健康委员会网站公布的一组简单数据，如表1所示.

问题1：根据表1中的信息，我们能做些什么？

师生活动：在教师的引导下，学生经过独立思考、合作交流，明确了探究学习的任务——预测.

【设计意图】立足于统计大单元，通过疫情数据统计表，凸显数据分析在帮助我们认识及研究疫情发展过程中发挥的重要作用，培养学生学会用数学眼光观察世界. 教师引导学生初步体会数据分析的作用——客观反映当前事实（为现在用）和预测预警（为将来用），感受学習统计学的意义和价值. 展示钟南山团队的疫情趋势模型，意在从情感上让学生感受到中国科技的进步及中国在这场“抗疫”中的巨大贡献，以增强学生的民族自豪感. 最后提出问题：根据信息，我们能做些什么？启发学生主动思考接下来的研究方向，培养学生发现并提出问题的能力.

2. 组织活动，探寻方案

任务：给出寻找规律、建立模型的方案.

师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后教师同屏投影学生给出的不同方案，让学生通过思辨，明确用哪一个方案来预测更合理.

方案1：列表，找规律，预测.

方案2：散点图，画光滑曲线，预测.

方案3：散点图，画直线，预测.

小结：列表、画散点图都是统计学上建立模型的常用方法. 首先，在感觉上这组数据更多分布在一条直线附近;其次，通过计算得出这组数据的线性相关系数[r≈0.98]，说明它们有着很强的线性相关性，所以今天就从线性模型去研究.

【设计意图】首先，本环节完成了本节课明线（线性回归方程概念的获得）的第一次概念提炼：选择统计模型类别，完成定“形”. 同时，完成本节课暗线（数据分析大观念）中的“整理数据”“提取信息”这两步. 其次，情境中给出的是文字信息，学生需要经历将文字信息数学化的过程，这是培养学生学会用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，发展学生数学抽象、数据分析素养的重要过程.

3. 启发引导，合作探究

问题2：能否写出直线方程，并说明理由？

师生活动：学生先独立思考，再小组交流. 教师加入学生的小组讨论并给予指导，同时让小组代表上台板书方案，将结果输入GeoGebra软件，利用计算机绘制直线图象.

方案1：猜想.

方案2：找两个点，利用两点式给出直线方程.

方案3：计算已知6个点的横坐标和纵坐标的平均数，即[x]和[y，] 再计算每相邻两点所成折线斜率的平均数[k，] 直线经过点[x，y]，且斜率为[k，] 给出直线方程.

小结：对于选用的直线[y=a+bx]，不同的方案得出不同的[a]和[b]，从而得到不同的直线方程. 但是，不管选择哪一条直线，6个点并不都在给出的直线上. 也就是说，通过直线方程算出来的[y]值与实际值会不一致，存在误差，我们称这个误差为随机误差，记为[ε]. 这样，我们把[x]和[y]两者之间的关系表示为[y=a+bx+ε]，我们称它为线性回归模型. 每一条直线都存在误差，哪一条直线更恰当呢？

【设计意图】首先，本环节完成了本节课明线（线性回归方程概念的获得）的第二次概念提炼：利用已有经验，尝试给“形”定“数”，同时完成了本节课暗线（数据分析大观念）中的“构建模型”. 其次，让学生经历写出直线方程并说理的过程，并发现每一条直线都不能使所有的点全在直线上，感受到用现有知识无法解决所遇到的新问题，从而体会到寻找新的模型的必要性. 为提升学生数学建模、直观想象及逻辑推理等数学学科核心素养服务.

问题3：直线“恰当”的标准是什么？

师生活动：学生自由发言，教师板书学生的方案，最后学生逐个思辨方案是否合理.

方案5：使得直线两侧的点的个数基本相同.

方案6：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成所求直线的斜率和截距.

小结：经过合作探究、讨论交流后选定方案4. 因为方案4既科学合理，又具有较强的可操作性. 用方案4检验上一环节讨论所得的三条直线哪一条更恰当，再用计算机加以验证，然后对所获取的知识再优化，即追问：你觉得还有没有比这条直线更恰当的直线？

【设计意图】首先，本环节为本节课明线（线性回归方程概念的获得）的第三次概念提炼：探究“恰当”标准，给典型案例定“数”做好铺垫. 问题“你觉得还有没有比这条直线更恰当的直线？”促使學生思考在这几条直线之外更一般的直线方程，即对所获取的知识再优化. 其次，通过交流和对各种“恰当”标准的阐述，培养学生学会用数学语言表达世界;通过对各种方案的辨析，培养学生的批判思维能力，发展学生的数学学科核心素养.

4. 推理论证，构建概念

问题4：怎样建立恰当直线的方程？

师生活动：解决由具体6对数据得到的二元二次函数求最小值的问题，并拓展到[n]对数据的一般情况.

小结：直线[y=a+bx]称为这[n]对数据的线性回归方程. 其中，[a]称为回归截距，[b]称为回归系数，[y]称为回归值.

【设计意图】首先，本环节完成了本节课明线（线性回归方程概念的获得）的第四次概念提炼：从特殊到一般，获得线性回归方程的概念. 同时，完成了本节课暗线（数据分析大观念）中的“进行推断”. 其次，通过解决具体的二元二次函数求最小值的问题，提升学生的数学运算素养. 最后，从具体情境到一般结论，渗透从特殊到一般的思想方法.

5. 回归情境，解决问题

追问1：现在，根据所得线性回归方程，我们还能做些什么？

师生活动：学生主动明确接下来的研究任务并根据线性回归方程预测出2020年1月28日新增确诊人数为26例，2020年1月29日新增确诊人数为30例.

教师展示疫情数据，如表2所示，学生确认预测基本符合实际情况.

小结：本节课的学习任务学生完成得很好，预测得到的数据和真实数据误差相对较小. 事实上，在现实生活中，线性回归模型只是最基础的一种模型. 在刚发现疫情的前十几天，我们今天研究的这个时间段内，确实可以用线性回归方程来研究. 但是对于现实生活中的更多情况，还会选择指数函数模型或多项式函数模型等去研究. 而且受各种因素的影响，实际情形会变得更加复杂，如下图所示.

追问2：同学们想一想，为何会下降直至归0？

小结：如果没有人干预，不采取科学的防控措施，假设按照初始态势发展下去，到了今天，每日新增确诊人数又是多少呢？事实上，疫情得到了有效的控制，这得益于全国人民的积极努力与强大专业知识的支持. 同学们要学好数学，将来运用所学，使生活更美好，让祖国更强大.

【设计意图】首先，教师引导学生巩固所学解决了上课开始提出的问题，在体会成功的同时了解随机误差产生的原因，明白线性回归方程只是一种基础的统计模型，在现实生活中，受各种因素的影响，统计模型相对复杂，体会统计思维与确定性思维的差异. 其次，本环节完成本节课暗线（数据分析大观念）中的“获取结论”. 最后，本环节体现了德育在数学学科中的渗透，即上升到立德树人的高度：同学们要学好数学，将来运用所学，使生活更美好，让祖国更强大！

6. 总结提升，深化认知

课堂小结：今天我们研究了什么？我们是怎么研究的？我们还能研究什么？

实习作业：选择适当的课题，进行变量的相关性研究.

小结：数据分析的过程包括收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获得结论. 对比科学家的研究过程，我们今天还有两个环节需要进一步完善，即收集数据和进行推断. 因为实践是认识的基础，认识来源于实践，所以如何收集数据是一个至关重要的话题. 例如，全国人口普查，第一步收集数据就要全面科学. 对于本节课我们所得的一元线性回归方程的合理程度，我们没有进行推断，这就是后继将要学习的知识. 最后，利用所学，课后完成实习作业，即选择适当课题，进行变量的相关性研究.

【设计意图】首先，课堂小结的三个问题分别从知识、方法及接下来可以研究的方向依次设置，层层递进，目的在于培养学生反思的习惯及提出新问题（明了接下来的研究方向）的能力. 其次，完善本节课从特殊事物中揭示一般规律，即数据分析主要过程及进行变量的相关性研究的一般方法，这个统摄性“大观念”，教学生用哲学眼光看数学问题. 最后设置开放性作业，突出学生的实践操作，以提高学生分析问题与解决问题的能力，发展学生的数学学科核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.