“等差数列的前n项和”教学设计

王友伟

摘  要：借助阅兵队列训练视频创设情境，引导学生以数学眼光看问题. 先从具体等差数列入手，再通过方法迁移，得到一般的公式. 从数的角度进行公式的推导，了解倒序相加法;从形的角度对公式进行直观解释，对公式进行深入理解. 经历提出问题、探寻研究方法、拟定研究方案、实施探究等过程，落实“四基”、提高“四能”，发展数学学科核心素养.

关键词：等差数列;前[n]项和;数学本质;研究方法;核心素养

一、教学内容解析

数列是函数的延续和发展. 在苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》（以下统称“教材”）中，通过列举生活和数学中的大量实例，给出数列的实际背景，让学生了解数列的概念，理解数列是一类特殊的函数.“等差数列的前n项和”是继数列、等差数列的概念之后学习的内容，其研究方法能够为后续研究等比数列及其他数列提供帮助. 本节课的主要内容是等差数列的前n项和公式的推导，而对于公式的变形及应用，以及通过其他途径来求等差数列的前n项和，将在后续的学习中进行研究.

二、教学目标设置

本节课教学目标设置如下.

（1）经历探索等差数列前n项和公式的过程，掌握从特殊到一般的研究方法，体会转化与化归、分类讨论等数学思想，积累数学活动经验.

（2）了解倒序相加法，理解等差数列的前n项和公式，能够合理运用公式解决问题，提高分析问题、解决问题的能力，提升数学建模、逻辑推理等数学学科核心素养.

三、学生学情分析

本节课的授课对象是高二年级的学生，学生在学习本节课内容之前，已经学习了数列、等差数列的概念及通项公式等基础知识，了解了等差数列中的几个量[a1，n，d，an]之间的关系.学生具有一定的归纳、推理能力及良好的思维习惯，部分学生拥有对特殊的等差数列求和的经验. 这些都为本节课的教学提供了知识迁移和方法类比的可能. 但学生仍未理解数列求和方法的本质. 因此，本节课的教学重在“说理”，即让学生从感性认识上升到理性认识.基于学情，确定本节课的教学重点为等差数列前n项和公式的推导，教学难点为探索求等差数列前n项和的方法.

四、教学策略分析

本节课采用以下教学策略.

（1）创设情境，引导学生用数学眼光观察世界，对现实问题进行数学抽象.

（2）引导学生从具体的等差数列入手，通过方法迁移，探究等差数列的前[n]项和公式.

（3）从数的角度进行公式的推导，从形的角度对公式进行直观解释.

（4）引导学生对比、总结推导方法的特点，体会数学的简洁美.

五、教学过程设计

1. 引导回顾，梳理知识

之前学生学习了数列的概念，研究了一类特殊的数列——等差数列. 借助树图，回顾了已经学习过的有关等差数列的知识.

【设计意图】以树图的形式帮助学生回顾知识、梳理框架，体会研究数学的一般方法——将未知转化为已知进行研究. 巩固理解an，a1，n，d四个量中“知三求一”，为接下来分析问题、探究方法做好铺垫.

2. 创设情境，提出问题

教师播放阅兵训练视频，提示学生观看视频时思考能否用数列的观点研究视频中的画面.

【设计意图】借助阅兵队列训练视频，在激发学生爱国热情的同时，让学生感受到数学来源于生活，引导学生用数学眼光观察世界，从数学角度思考问题.

视频中的队列变化画面如图1所示，对应抽象成点阵，如图2所示.

问题1：对于如图2所示的点阵，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？

【设计意图】引导学生尝试寻找队列的人数与数列的关系，内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，引导学生将实际问题中的数量抽象出来并用符号进行表示，进一步培养学生的观察能力，以及从实际问题中进行数学抽象的能力. 学生选择从最简单的等差数列——常数列入手，通过对常数列求和的体验，为接下来研究“公差不为0的等差数列求和时，将不同数相加转化为相同数相加”做好铺垫.

将图1（3）的左下区域抽象为点阵，如图3所示，以此为例进行研究.

问题2：对于图3，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？

【设计意图】继续内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，在学生提出问题后顺势而为，引出本节课的课题——等差数列的前n项和. 同时，通过“提出问题—明确方向—分析问题”这一系列的操作，让学生感受到研究等差数列的前n项和的必要性.

3. 组织活动，探索方法

问题3：设如图3所示的点阵区域的总人数为S21，如何求这个区域的总人数？

尝试用多种方法，学生分组讨论，5分钟后小组汇报.

S21 = 3 + 4 + … + 22 + 23.

预设方案1：从数的角度研究.

预设方案3：从形的角度研究，如图4所示.

【设计意图】通过问题2引导学生经历从特殊到一般的研究过程. 通过组织活动，让学生自主探究、小组讨论，形成方案后汇报交流. 部分学生有过解决此类问题的经验，容易想到配对，但是对配对的真正目的不是很理解，所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和，引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形，也为接下来的奇偶项的讨论和倒序相加法做好铺垫.

预设方案4：从形的角度研究，切掉左边的两列，如图5所示.

预设方案5：从形的角度研究，切掉左边的三列，如图6所示.

【设计意图】图6左半部分对应一個常数列，学生直观感知到相同的数相加可以转化为乘法，呼应了前面的配对思想.在学生已经掌握了“补”的方法后再提出这一问题，比较自然地引出了“割”的方法，引导学生学会从几何角度给出不同的解释，也为推导等差数列前[n]项和公式的第二种形式进行铺垫.

这一环节的设计，让学生充分感受到可以从数和形两个角度对等差数列进行求和，经历自主推导公式的过程，感受配对的实质是将等差数列转化为常数列，从而将加法转化为乘法，使复杂问题简单化.

4. 引导归纳，建立模型

问题4：如何推导出等差数列[an]的前n项和？

追问1：对于一个等差数列[an]，要已知哪些量才可以求出前n项和？

【设计意图】复习时已经明确an，a1，n，d四个量可以“知三求一”，追问1可以继续内化这个知识点. 当学生遇到“已知an，d，n”的情形，经过引导和讨论，学生能够从多个角度理解其等同于“已知a1，d，n”的情形，使接下来的研究途径更加合理.

【设计意图】研究具体数列的求和后，学生将探究过程中使用的方法迁移到一般的等差数列[an]中，继续内化倒序相加法，并利用追问让学生进一步理解“为什么要配对”“为什么能配对”，并阐述原因.

【设计意图】通过使用“割”的方法，从形的角度给出了公式的直观解释，也让学生感受到等差数列的求和问题其实可以转化为“求[1+2+…+n]的值”的问题，体现了转化与化归的思想.

追问5：你能发现这两个公式之间的关系吗？

追问6：对比上述推导Sn的方法，你觉得哪种方法更简洁？

【设计意图】已知a1，d，n推导Sn本质上就是“求[1+2+…+n]的值”. 从而引导学生发现最简洁的还是倒序相加法.经过这样的比较分析，让学生理解等差数列的前n项和公式是形式化的表达，推导公式的目的是应用的简洁，追求简洁是数学研究的基本原则.

5. 数学运用，巩固深化

【设计意图】例1是对等差数列的前[n]项和公式的直接应用. 通过对例题的解决，使学生巩固对公式的认识，会根据题设条件合理地选用公式求值. 同时，明白选择公式的原则是追求简洁.

重点讲解图9中的深色区域，即图10（从不同的角度看，得到不同的等差数列）.

【设计意图】例2与问题1呼应，回归实际问题，引导学生从不同的角度分析问题，培养创新意识.

练习：在等差数列[an]中，设[an]的前n项和为Sn.

（1）已知a1 = 3，a50 = 101，求S50;

（2）已知a1 = 3，d =[12]，求S10.

【设计意图】再次巩固对公式的理解. 公式的应用其实就是从一般到特殊的过程.

6. 总结反思，升华理解

回顾与反思：这节课你有哪些收获？学到了哪些知识？体会了哪些思想？

【设计意图】本节课采用开放式课堂小结，引导学生回顾学习过程，从知识、方法、思想几个角度进行总结，积累经验，促进学生反思升华、感悟思想、提升素养.

7. 分层作业，因材施教

（1）巩固运用：教材第47页习题第1 ～ 5题.

（2）拓展思考：若等差数列的通项公式[an=fn]是关于n的函数，你能从函数角度研究其前n项和Sn吗？

【设计意图】分层布置作业，面向全体学生，继续深化等差数列前n项和公式的应用. 同时，为学生提供运用函数观点研究Sn的平台.

参考文獻：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.