改变学习方式 凸显数学育人

李智伟

摘  要：采取“课前学生自主研学（教师事先设计研学案，引导学生研究性学习），小组成员交流研学成果;课上各小组展示研学成果，师生互动答疑解惑;课后继续拓展研究”的研究性学习方式来探究正方体的截面，积累关于正方体截面探究的数学探究活动经验. 与此同时，形成截面研究的单元整体设计.

关键词：正方体截面;数学探究活动;单元整体设计;研究性学习

让学生体验生活、动手实验、勇于探索、合作参与，使他们成为研究者和实践者. 研究性学习的学习方式改变了传统的课堂学习方式，让学生真正参与到研究和实践中. 而《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中提到的高中数学课程的基本理念中包括了“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”“注重提高学生的数学思维能力”. 基于这两者的联系，探究课这一数学课型便成为了高中数学新课程改革中的重要内容. 本文记录的“正方体截面的探究”教学设计与反思，是结合研究性学习和数学探究活动的一种体现数学育人功能的尝试.

一、内容和内容解析

1. 内容

本课题是一个数学探究活动，研究内容基于《标准》附录中“教学与评价案例”的案例11“正方体截面的探究”，本节课是研究性学习单元整体设计的课程中正方体截面问题的展示部分.

2. 内容解析

人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修教材的知识体系中，先给出了基本立体图形中常见的空间几何体，包括柱体、锥体、台体（含截面的应用）、球等多面体与旋转体. 紧接着又研究了立体图形的直观图，介绍了斜二测画法，在认知了空间图形的基础上，又给出了研究立体图形的作图方法. 而本次数学探究活动就是结合“截面”这一工具，在认知立体图形后研究正方体的问题. 因此，如何综合利用基本立体图形的结构特征和基本图形位置关系中的结论、定理，引导学生探究、发现、证明正方体截面的形状、大小等的变化规律，是本次数学探究活動的基础，也是本节课研究性学习展示的关键.

作为一个数学探究活动，可以在一堂课中完成其中的一部分，在课余时间让学生独立完成整个探究，形成单元整体学习，并写出研究报告. 本课时重点展示课堂中完成的部分. 要注意引导学生提出一些问题，可以根据当地条件采取不同的探究策略. 例如，实物操作、模型操作或借助信息技术进行模拟，以及直接观察等. 探究的难点是分类找出所有可能的截面，并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在. 可以鼓励学生通过操作观察形成猜想、证明结论，在逐渐深入的探究过程中，培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，在具体情境中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养，积累数学探究活动经验.

根据以上分析，确定探究活动的重点为：正方体的截面特征及其研究方法.

二、探究目标设置

本节课探究目标设置如下.

（1）结合正方体截面设计的问题串，学生能给出正方体截面的分类原则，能找到截得这些形状截面的方法，会画出这些截面的示意图，对正方体截面产生较为系统的认识.

（2）通过对实际问题的探究，学生能发现、猜想和探索正方体截面的变化规律，会计算、推理和论证正方体截面的相关性质，积累数学探究活动经验.

（3）借助信息技术、实物操作、网络资源及小组合作等学习方式，创建问题情境，激发学生的学习热情，培养学生的发散思维和创新意识，并提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等素养.

三、学生学情分析

正方体截面形状的探究是一个跨度很大的数学探究活动，可以针对不同学生设计不同的教学方式，通过多种方法实施探究. 例如，可以通过切萝卜块观察，启发思路;也可以在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置、不同水量时液体表面的形状;还可以借助信息技术直观、快捷地展示各种可能的截面.

本次探究活动的对象为湖北省宜昌市第一中学高二学生，学生具有一定的自主探究与合作学习能力，基本上了解空间图形的研究方法，具备利用信息技术结合代数方法还原实际空间立体几何问题的能力. 结合长期在研究性学习活动的实践中积累的活动经验，学生能够在课前对正方体截面进行较为完整的研究性学习. 这些都是我们本节课探究空间截面问题的基础. 但是学生还比较缺乏提出新问题的意识与利用已有方法解决新问题的能力.

根据以上分析，确定探究活动的难点为：正方体截面形状的确定和研究方法.

四、教学策略分析

基于单元整体设计，本课题设计了在一个开放情境下的探究单元，即包括正方体所有截面形状的探究、正方体截面相关性质的探究、正方体表面上作截面的问题探究等，包含课前、课中、课后三个阶段，内容十分丰富.

采取“课前学生自主研学（教师事先设计“研学案”，引导学生研究性学习）—小组成员交流研学成果—课上各小组展示研学成果—师生互动答疑解惑—课后继续拓展研究”的方式来探究正方体的截面.

课程立足于研究空间截面问题的基本方法（公理系统、确定平面方法等）展开对正方体截面的探究，旨在培养学生研究数学问题的基本能力与素养.

课堂时间有限，可适当对课堂展示内容进行取舍. 例如，仅设计学生展示研究截面形状分类及其特征、从棱上取点作截面、利用空间坐标系研究截面等问题，其他问题留作截面探究单元的后续研究.

利用研究方案中设计的问题串引导学生通过实例和事实正确理解截面，然后从学生自主展示的研究性学习成果出发，引导学生了解正方体不同的截面变化情况、激发学生的发散思维，经过推理论证和动手实践后，完成课堂预设情境问题，带领学生掌握研究截面和作截面的一般方法.

要处理好预设与生成的关系，同时对于不同形式的截面，可以借助信息技术等手段来验证.

五、课堂展示流程

本节展示课按照四个教学环节展开，即发现截面—寻觅截面—研究截面—应用截面. 其教学流程图如图1所示.

六、课堂展示过程

课前向学生发放“正方体截面的探究”研学方案（见附录），学生自主研究学习，各小组组内交流学习成果，推荐发言人，课上分小组展示研究成果.

师：研究正方体截面的相关问题，首先要解决的问题就是如何理解截面. 生活中有哪些与截面有关的数学问题？

1. 发现截面

学生活动1：调查和收集生活中的截面实例.

学生通过调查和收集生活中的实例，得到以下常见的截面：建筑材料的切割面，游泳池的水面，3D打印中的层叠面，全息技术成像的投影面，地图中的等高面，等等.

学生活动2：设计与实例中截面相关的数学问题.

结合找到的截面实例，可以得到：（1）建筑材料的切割问题，需要通过确定截面形状以便操作，辅助完成切割;（2）游泳池的换水頻率问题，需要利用水面大小结合气温确定水的蒸发速度，从而确定换水的频率;（3）3D打印的材料使用量问题，需要根据截面大小计算出所需材料量.

【设计意图】让学生自主寻找生活中的截面及与之相关的数学问题，旨在给学生提供研究对象的实际背景，激发学生的学习兴趣，同时培养学生从生活中发现数学问题的意识.

师：只要我们善于发现，生活中处处有数学. 截面是研究这些问题的载体，在高中数学教材中不乏它的身影. 结合你的研究，让我们一起寻觅截面的“踪迹”.

2. 寻觅截面

学生活动3：查阅教材和相关文献，寻觅高中数学知识中截面的“踪迹”.

学生展示教材中与截面相关的内容如下.

（1）教材必修第二册“基本立体图形”中介绍台体时，利用截面给出相关几何体的定义（如图2）.

（2）教材必修第二册“圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积”之后的探究与学习材料中，利用截面证明体积关系（如图3）.

（3）教材选择性必修第一册“圆锥曲线的方程”的章引言中，有介绍用不同角度的平面截圆锥得到截口曲线，从而得到圆、椭圆、抛物线和双曲线的内容（如图4）.

师生互动1：借助实例准确理解截面.

师：原来截面并不陌生，你能给出截面的准确含义吗？我们一起来看图5 ～ 图7：这些图形中的阴影部分能作为相应几何体的截面吗？什么样的图形才能作为几何体的截面？

生1：图5 ～ 图7中的阴影部分均不能作为相应几何体的截面，图5中的阴影部分在四棱锥的表面，不能称为截面;图6中的阴影部分连线之一不在正方体的表面，也不能算作截面;图7中的阴影三角形有两条边均不在圆柱的侧面上，也不是截面.

生2：结合以上例子可以看出，在立体几何中，截面是指用一个平面去截（经过几何体内部的点）一个几何体得到的平面图形. 其中，截面的边界线一定是原几何体与平面的交线，即截面边界线（直线或曲线）必须在几何体的表面.

【设计意图】让学生从教材和相关文献中找到“截面”概念的相关内容，旨在让学生体会作为一个几何研究对象，截面并不陌生，以加强学生的直观感知能力. 设计三个图形，让学生准确把握截面的含义，即关键词“经过内部”“面面相交定边界线”等，强化对截面的理解，为后续研究内容做铺垫.

3. 研究截面

（1）研究正方体的截面形状特征.

师：在了解了截面的准确含义后，我们进入正题，探究正方体的截面. 课前让大家专门做了相关研究，现在请不同小组指定发言人来展示你们的研究成果.

学生活动4：用实物模型或者技术工具（3D绘图软件）等手段，模拟正方体的截面.

展示1：实物切割组（视频展示）.

用花泥制作正方体模型，借助切割的方式，得到不同角度下切割的正方体截面形状，包括三角形、四边形、五边形和六边形，并用印泥将它们拓印出来.

展示2：容器水面组（情境展示）.

借助透明的正方体容器来研究，将其中加入带有颜色的液体（如蓝墨水），转动容器，会得到不同形状的水面（即截面），记录下来.

展示3：软件操作组（微课展示）.

利用平板电脑上的GeoGebra软件，输入不同参数的平面方程，可以模拟不同角度、不同位置的截面，从而得到不同形状的正方体截面图形.

【设计意图】这是学生课前已经利用不同方式完成研究后的展示，这种开放的呈现方式，通过多种方式实施探究，旨在培养学生的发散思维、创新意识及动手研究能力.

师：大家分别用自己独特的方式完成了正方体截面形状的类型探究，即从边的数量上进行了简单的分类. 那么，在研究的过程中，结合这些截面的形状特征，你们还证明了哪些有关正方体截面的性质？其中又用到了哪些数学原理？请各小组进一步展示，其他小组可以提出质疑.

学生活动5：结合得到的截面的形状特征，说明它们的性质，并加以证明.

结论1：三角形截面的形状只能是锐角三角形.

学生展示：先通过直接测量的方法进行验证，再借助参数表示三角形的边长，并利用余弦定理证明截面三角形的每个内角都是锐角. 证明过程摘要如下.

结论2：多边形截面（除三角形截面外）至少有一组对边平行.

学生展示：由于正方体相对的面均为平行的平面，用截面去截取时，相对的面上的交线必然平行，这可由面面平行的性质定理得到. 以平行四边形截面为例. 证明过程摘要如下.

结论3：在正方体中，不存在边数超过6的多边形截面.

学生展示：由于截面的含义中强调截面的边界来自原几何体和截面的交线，而正方体只有六个表面，那么截面最多能产生六条交线，当然截不出七条边及七条边以上的多边形.

结论4：垂直于体对角线的截面中面积最大的是过各棱中点的正六边形截面.

学生展示：这里可以借助软件的计算功能说明，若要严格证明则需要将问题量化，可以利用函数（或基本不等式）来证明. 证明过程摘要如下.

证法1：设正方体的棱长为1，平面[α]与体对角线[DB′]垂直，易知截面只有正三角形和六边形两种可能，

（1）当截面为正三角形时，最大截面为经过三个正方体顶点的正三角形，面积为[34×22=32.]

（2）当截面为六边形时，如图10所示.

证法2：设正方体的棱长为1，平面[α]与体对角线[DB′]垂直，所以平面[α]与底面[ABCD]成角不变，利用射影面积公式可知，截面面积的最大值出现于截面在底面投影面积取得最大值时.

如图11，可知底面投影面积等于单位正方形减去两对角处的等腰直角三角形面积，易知两等腰直角三角形的直角边[a，b]满足[a+b=1.]

【设计意图】学生在研究后，结合截面的性质特征，说明和论证的过程，渗透了研究一个数学对象的基本路径，即“事实—发现—猜想—论证”. 这个环节的展示既是研究成果的展示，又是提高辩证思维，发展学生逻辑推理、数学运算等素养的过程.

（2）研究正方体截面的作图方法.

师生互动2：正方体截面的作图方法探究.

师：在实际研究正方体截面時，更多情况下是不能借助其他工具的，而需要我们自己将截面补出来. 那么我们如何利用已有信息，作出正方体的截面呢？首先回顾一下空间里能够确定平面的方法.

② 若点[E，F，G]中只有两点在同一表面的棱上（如图13），问题该如何解决？

学生展示：学生利用小黑板完成作图，并结合作图过程讨论、总结作图经验，归纳作图原则.

作截面的一般原则：在同一表面上的点可以连线;凡是相交的直线都要画出它们的交点;凡是相交的平面都要画出它们的交线.

【设计意图】本环节是正方体截面探究的另一个方面，即如何作截面. 在实践过程中，学生更多面对的是如何补全截面，从而解决与截面相关的问题. 这里通过回顾基本事实，引导学生找到解决问题的出发点，再设计递进问题，让学生在实践中总结经验、形成规律.

4. 应用截面

视频播放我国钢产量的变化，引出问题情境.

师：中国的钢产量从无到有、从有到多，现在已经可以名副其实地称之为“钢多气多”. 新时代里，如何才能更好地利用钢材料呢？

师生互动3：截面的实际应用.

图14是钢材料中常见的“方矩管”，它的直截面为

标准正方形，这种材料在使用中多用于建筑的支撑结构. 若某方矩管在使用后留下三个不同位置的小孔，那么在钢材料回收时，应该如何切割（沿同一平面）呢？

生3：可以过点F作直截面，因为这是面积最小的截面，是操作工艺最简单的方式，也方便存储和运输.

生4：可以过点E，F，G作出截面，虽然操作复杂一点，但是保留的钢材料是最多的，与节约环保的理念吻合.

生5：可以只过点F，G作截面，保证过截面的一条截线和原边界线平行，算是一种折中的方案.

【设计意图】这个环节先引入一个社会热点问题，激发学生的爱国情愫. 在情境中设计开放型问题，旨在应用知识的同时培养学生的创新意识和发散思维.

5. 课堂总结

各小组展示研究报告的结论部分，结合本节课的展示内容，对“正方体截面的探究”的研学成果进行整理小结.

小结思路.

知识：截面的准确含义，正方体截面的形状特征与性质.

文化：截面在生活中的运用.

方法：正方体截面的简单作法.

思想：数形结合.

思路：事实—发现—猜想—论证—实践—总结. 这也是探究数学问题的一般思路.

……

师：与截面有关的问题还有很多，我们没有时间在这节课中一一展开，大家可以结合本节课的学习内容及研究思路，在课外继续研究.

6. 课外延伸

（1）若正方体表面的三点满足任意两点不在同一侧面，则应该如何作出截面？

（2）试完成一份“浅谈截面——以××为例”的实践报告，结合课堂学习内容，尝试研究其他截面问题（如正四面体的截面形状特征、空间几何体截面最值的研究思路、空间几何体截面作法探究等）.

【设计意图】及时提供给学生可以在课后继续研究的相关思路，将探究延伸到课堂之外，完善整个探究过程，形成“课前初步探究正方体截面形状与作法，课中分享完善正方体截面性质与应用，课后进一步探究其他截面问题”的单元整体设计.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]孙立群. 高中数学研究性学习内容的构建与实施[J]. 数学通讯，2001（11）：4-6.

[3]夏炎. 高中数学研究性学习探讨[J]. 数学教育学报，2001（3）：63-66.

附录：

“正方体截面的探究”研学方案

1. 研学要求

课前自主研究学习，各小组组内交流学习成果，推荐发言人，课上分小组展示研究成果.

2. 研学任务

（1）通过调查和收集，了解生活中的截面.

（2）查阅教材和相关文献，寻求截面在高中数学知识中的“踪迹”，并尝试给空间几何体的截面下定义.

（3）利用合理的方式（实物模拟、技术演示等）模拟正方体截面的形状，探究各种截面形状的特征并证明.

（4）了解正方体截面的简单作法，尝试总结作截面的一般原则.

（5）了解截面的简单应用，体会数学源于生活、数学应用于生活的理念.

3. 研学过程

（1）问题背景.

试通过调查和收集回答下列问题.

问题1：生活中，常见的截面实例有哪些？

问题2：实例中哪些相关问题的解决需要用到截面？

（2）相关知识.

试查阅教材和相关文献回答下列问题.

问题3：在高中知识范畴中，图1 ～ 图3哪些内容有截面的“踪迹”？

问题4：图1 ～ 图3中的阴影部分能作为相应几何体的截面吗？什么样的图形才能作为几何体的截面？

（3）研究过程1——模拟截面.

问题5：试利用实物模型或者技术工具（3D绘图软件）等手段，模拟正方体的截面，并总结正方体截面有哪些不同的形状？

问题6：结合所得截面的形状特征，说明它们的性质，并尝试证明，其中需要用到哪些数学原理？

（4）研究过程2——作截面.

问题7：如果只知道正方体截面的部分信息，能否将截面补全（如问题4中的图2）？如何操作？

问题8：在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，点[E，F，G]分别位于三条棱上，如何作出过点[E，F，G]的截面？

① 若点[E，F，G]在相互平行的侧棱上（如图4），问题该如何解决？

② 若点[E，F，G]中只有两点在同一表面的棱上（如图5），问题该如何解决？

（5）研究应用.

问题9：图6是钢材料中常见的“方矩管”，它的直截面为标准正方形，这种材料在使用中多用于建筑的支撑结构. 若某方矩管在使用后留下三个不同位置的小孔，那么在钢材料回收时，应该如何切割（沿同一平面）呢？

4. 研学结果

试完成一份《正方体截面研究》的研学报告，留作课堂展示使用.

目的：研究正方体截面的不同形状，给出截面作法的一般思路.

要求：独立完成，含必要实践内容（借助实物，信息技术等）.

过程记录：

思考内容：