数学动点问题题型分类与方法归纳

摘 要：所谓动点问题是指在线段上、射线上、圆上、立体图形中、函数图象中存在一个或者几个运动的点，这些点的运动问题就是动点问题。[1]作为历年中考第24题的必考内容，动点问题在中考中占有重要地位，同时，动点问题的求解方法也是中学数学教学中一个重点和难度内容。本文通过对近年来大连市中考试题进行分析，根据问题提出维度，将中学阶段动点问题分为求线段、求面积两种题型，根据题型的不同，相对应地，总结出不同的解题方法。旨在更好地服务于中学动点问题教学实践。

关键词：动点问题;题型分类;解题方法

一、求线段类动点问题

（一）例题

例1 （2014年大连市中考24题） 在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8。折叠纸片，使点B落在AD上，落点为点B′。B′从点A开始沿AD进行移动，折痕所在的直线l，位置也随之发生改变，当直线l经过A时，B′停止移动，连接BB′。设直线l与AB相交于E，与CD所在直线相交于F，B′移动的距离为x，点F与点C的距离为y。

（1）求证：∠BEF=∠AB′B;

（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围.[2]

（二）题目共性特征

1.借助图形变换，考察学生通过观察，推导线段或角之间的特殊数量关系的能力;

2.图形中包含诸如等腰三角形、直角三角形、矩形等特殊图形，便于考察特殊图形的相关性质定理。[3]

（三）求解共性方法

1.通过观察图形中的相关几何变换，利用这些几何变换的性质，得出相等的边或角。例如，在常见的几何变换中，平移、翻折、旋转前后，图形中的对应线段、对应角依然相等，

2.通过分析题目中的图形和已知条件，得出特殊图形，在利用特殊的性质，推导出边或角的特殊数量关系。例如，等腰三角形的三线合一，直角三角形可以利用勾股定理，矩形的边、角的特殊性质等等。

3.利用上述边或角的相等关系，得出图形的全等或相似，在利用全等或相似的性质，得出线段的表示方法，即为所求。[4]

二、求面积类动点问题

（一）例题

例2  （2016年大连市中考24题） 如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC进行运动，开始时，D与B重合，D到达C时运动停止，过D作DF=DB，与射线BA相交于F，过E作BC的垂线，与射线BA相交于G.设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0

（二）题目共性特征

1.与函数图象相联系设定已知条件;

2.借助运动过程和分段函数图像，考察分情况讨论的数学思想方法;[7]

3.借助求面积公式，启发学生构造平行或垂直的辅助线;

4.借助特殊的图形或特殊的位置关系，考察相关的性质定理;

5.借助图形变换，给出特殊的线段或角的数量关系，进而考察学生对于全等或相似相关知识的运用;[8]

6.考察求特殊图形面积公式或割补法求不规则的图形的面积。

（三）求解共性方法

1.观察图像，得出特殊值。如例2中（1）的求解，由图象可知BC=3，故答案为3。

2.分析题目已知的运动过程，以及分段函数图像中，每一段所对应的自变量所在区间，进行分情况讨论。如例2中（2）的求解分为三种情况，分别是：当0≤x≤1时，当1

3.在利用面积公式过程中，通过分析图形，构造垂直或平行的辅助线。如例2中（2）第①种情况中，为求△BFD的面积，作DM⊥AB于M。[10]

4.分析题目中已知的特殊图形或特殊位置关系，运用相关性质定理，[8]如在例2中，运用平行线分线段成比例，直角三角形勾股定理等等，求相关线段的数量关系或线段长度。

5.分析已知条件中的图形变换，得出特殊的线段或角的数量关系，进而得出全等或相似，运用全等或相似的性质，求出相关线段的长，再代入特殊的图形的面积公式或利用割补法求不规则的图形的面积来求解。

结语

回顾历年中考第24题，动点问题在中考中占有重要地位，同时，动点问题的求解方法也是中学数学教学中一个重点和难度内容。总结近年来大连市中考试题，中学阶段动点问题根据问题提出的维度，分为：求线段和求面积两种题型，题型的不同，其对應得解题方法也不同，在实际的问题求解和教学过程中，可以根据题型，进行对应方法套用。

参考文献

[1]孙丽萍.初三学生在解几何动点问题中的困难分析[D].上海：华东师范大学，2011.

[2]李寒月.空间与图形课程内容的教科书比较研究[D].长春：东北师范大学，2008.

[3]张哲.初中数学动态几何问题的解题障碍分析及对策[D].苏州：苏州大学，2016.

[4]郭述卿.新课标初中期末整体回顾与评价[M].宁波：宁波出版社，2006.

[5]曹建军.“相似三角形”的教材修订及教学建议[J].中学数学教学参考，2015（1）.

[6]朱立明.义务教育阶段学生数学符号意识分析层次的建构[J].数学教育学报，2019（2）.

[7]陈志辉，孙虎，周芳芳.上海七年级学生“平行”概念表征与转译的调查研究[J].数学教育学报，2019（1）.

[8]张宏政.一图一世界—直角三角形复习课的思考[J].中学数学教学参考，2015（3）.

[9]刘永东，王艳萍.“全等三角形”数学活动课的教学设计与实践反思[J].中学数学教学参考，2013（1）.

[10]马德军，常传红.“角平分线（一）”教学纪实与点评[J].中学数学教学参考，2013（1）.

[11]张林.基础生长 本质回归——一节习题课的教学设计与思考[J].中学数学教学参考，2015（6）.

[12]王拥军.数学教学中的过程性例[J].中学数学教学参考，2012（1）

作者简介：张馨月（1987-）满族，女，辽宁大连人，硕士，大连市第三十九中学数学教师，中学一级教师，主要从事数学教学研究。

基金项目：大连市教育科学“十三五”规划2018年度一般课题“动点问题中培养初中生逻辑推理素养策略研究”，课题编号：ND2018111。