关注例题教学 提高解题能力

张淼

[摘  要] 文章通过对数学例题的教学，分析不同的教学方式带来的教学效果. 学生在深挖例题教学中，不断拓展知识与技能的深度和广度;在创新式例题教学中，亲历问题的发生发展过程，形成解题模型. 学生在教师的引导下不断地夯实知识基础，掌握知识内涵，形成解题模型，提高解题能力.

[关键词] 例题;数学教学;解题能力

古往今来，数学作为一门重要的基础学科存在于我们的学习与生活中，而例题讲解作为数学教学一个必不可少的重要环节，能有效地促进学生思维的发展与解题能力的提升. 例题教学既是培养学生数学能力的重要方法，又是提高学生数学核心素养的重要手段[1]. 作为教师，应充分认识到例题教学的重要性，通过深挖例题与创新教学，帮助学生在解题过程中规范解题格式，理清解题思路，达到巩固所学知识、提高解题能力的目的.

深挖例题，掌握知识内涵

近些年，笔者着手研究了各地区的中考试题，发现其中有很多试题都改编自教材中的经典例题或习题. 这种取材方式既体现了例题的重要性，又能反映学生对知识与技能运用的熟练度和灵活度. 那么，我们应该怎样让例题教学变得更有价值呢？我们该用何种方式深挖例题所蕴含的知识呢？笔者认为，只要用心地揣摩，逐渐放大例题的深度与广度，我们就能开发出例题中所蕴含的教学资源，从而掌握知识内涵.

案例1 ？摇“等边三角形的性质”的教学.

例题：如图1，△ABC与△DEC均是等边三角形，其中A，C，E三点在同一条直线上，度量AD与BE的长度，說说它们之间的关系，并说明理由.

本题是教材中出现的一道习题，出题的本意在于考查学生对等边三角形的性质的掌握程度，并根据其性质判定△DAC≌△EBC，由此可知AD=BE. 解决这个问题的难度并不大，这里从略.

有经验的教师不难发现，图1在往年的模拟考试或中考中均出现过，一般除了考查学生两条线段的数量关系而外，还会涉及一些线段位置关系的判断或夹角问题的判断等. 因此，作为教师，执教时不能仅仅满足于本题的解答，还应该运用发展的眼光审视本题，细细琢磨题干呈现的每一个条件，深挖各个条件背后所蕴含的知识.

如“A，C，E三点在同一条直线上”这个条件有什么作用？我们可以通过这个条件看出什么？为了深挖这个条件的作用，笔者运用几何画板将图形进行了一些改变，改变的规则是“紧抓变化中的不变条件，让学生充分感知几何运动的过程”.

虽然大部分学生能跟上教师的节奏，完成本题的解答，但在理由的阐述环节，很多学生都没有用上“A，C，E三点在同一条直线上”这个条件，他们并没有考虑到这句话所蕴含的意义与出现的真正作用.

为了让学生关注到“A，C，E三点在同一条直线上”这句话，笔者提出：“现在我们将本题的这句话删掉，其他条件均不变，请大家根据题意画图. ”

（学生小组合作并讨论）

学生讨论后决定用几何画板演示：△ABC固定不动，将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转. 此时△CDE随着点D与点E的位置变化而出现各种新的图形. 虽然图形的形状没有发生改变，但是角度却发生了变化.

在学生对自主画出新的图形而充满成就感时，教师提出：“随着图形的改变，我们在原题中获得的AD=BE这个结论还成立吗？”教师要求每个小组都选取一个图形进行说明（组与组之间的图形不重复）.

从每个组的发言中我们可以看出，通过三角形全等的方式可以证明AD=BE，证明过程中所用到的证明条件和原题非常相似，唯有夹角相等这个条件需要用加减法来计算. 其中，遇到的最为特殊的图形如图2和图3. 对于图2，A，C，D三点在同一条直线上，B，C，E三点也在同一条直线上，因此图1中涉及的△DAC与△EBC并不存在，所以不能通过这两个图形的全等来获得结论，但可以通过线段之和相等得到AD=BE.

对于这道例题的讲解，教师通过小组合作的方式，鼓励学生通过几何画板自主寻找图形变化的规律，然后根据图形变化后点、角、线的不同来分析相应的结论. 学生在探索此题的变化过程中逐渐获得了解决问题的条理性. 这一过程能在夯实基础知识的同时，有效地发展学生解题的探索能力与思维能力.

波利亚认为：“用一个不算复杂的例题让学生感知并发掘问题的各个方面，能将学生带入一个完整的新世界[2]”在此，为了让学生充分体验数学的神奇之处，诱导学生思维的发展与数学能力的提升，教师以一道简单易懂的例题为引子，让学生通过这道题的不断深入，逐渐感知三角形全等的性质在解题中的运用. 学生在问题的变化中构建出了一张崭新的、完整的知识结构网.

注重创新，形成解题模型

随着新课改将“创新”的教育理念根植于教育者的思想与行动中后，不论是日常的教学设计，还是各类公开课或比赛，也都趋向于一种“创新”的教育理念. 其实，新课改所推崇的创新，不仅体现在我们所看到的公开课上，更重要的是要贯彻到日常的教学中. 学生从课堂例题讲解的创新中感知知识的形成过程，从而构建新的解题模型，提高解题能力.

案例2？摇 “握手问题”的教学.

原题：新学期开始，古筝社团的同学是来自不同班级的新成员，教师组织她们两两握手并进行自我介绍.

（1）若社团有成员10个人，她们两两握手，一共需要握手多少次？

（2）若社团的成员超过10个人，一共需要握手多少次？有没有一种办法，可以直接计算出任意人数两两握手的总次数？

学生初次遇到这道题，都认为难度很大，难以计算. 为了让学生更好地接受此题的解题方法，笔者采取降低难度的方式进行创新教学，让学生从新的问题中构建二次函数模型，实现类化处理问题的教学目的. 具体过程如下.

1. 学生之间做互相握手的试验，将试验结果填入表1，其中字母y表示学生之间握手的总次数，n表示参与握手的学生总人数.

2. 建立一个平面直角坐标系，将表1中的数据作为坐标中的点，把y关于n的函数关系图像描绘出来.

3. 根据自己所描绘的图像猜想y关于n的函数关系式.

对于此过程，学生填写表1毫无障碍;在平面直角坐标系中描绘y关于n的函数图像（如图4），学生也相当顺利;学生在以上两步的基础上猜想y关于n的函数关系式并不费力，再根据待定系数法获得y=n2-n. 此题到了这个阶段，握手模型已经建立. 当学生再次遇到类似问题时，则手到擒来.

教师借助平面直角坐标系的使用来降低本题的解题难度，这种方式能有效地幫助学生找到同类问题的解题技巧，大大地提高了解决“握手问题”的能力. 此题还可以从组合问题着手进行创新讲解，即每次握手都是从n个人中取2个人，所以结论是 这种方式比较抽象，对学生的思维能力要求较高. 这个问题若采用在草稿纸上画点，再进行两两连接的方式，也能通过计算线段的数量解决.

由此可见，一道题的讲解方式多种多样，只要我们教师愿意花时间与精力去研究与琢磨，就能让学生看到问题的本质. 从心理学角度出发，学生亲身经历并感受问题的发生与发展过程，形成理解性的记忆比机械性记忆更加牢固[3]. 学生在亲历中一旦形成“握手模型”，不管题目发生怎样的变化，解题方法永远不变，即万变不离其宗，其解题能力与思维能力也会在教师的引导中得以提升.

总之，不管是深挖例题资源还是创新例题讲解，都可以采用开放的教学方式. 这种教学方式不仅延伸了例题教学，拓展了知识内涵，而且给学生提供了更宽广的思维空间，能在激发学生求知欲的同时有效地提升学生的解题能力. 因此，教师在遇到简单例题时，可以适当增加例题的深度与广度，以拓展学生的知识面. 若遇到学生无从下手的例题，则改变教学方式，通过实验、画图等方式降低例题的难度，以激发学生的学习兴趣，提高其解题能力.

参考文献：

[1]李树臣. 认真研读课程标准   教会学生数学思考[J]. 中学数学杂志，2016（12）.

[2]G·波利亚. 怎样解题[M]. 涂泓，冯承天译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]崔允淳. 教案的革命：基于课程标准的学历案[M]. 上海：华东师范大学出版社，2016.