基于渐近均匀化方法的波纹结构力学性能等效分析研究

杨 志 勋，英 玺 蓬，阎 军*，杨 亮，朱 鹏 程，曹 鹏

(1.哈尔滨工程大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001；2.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁 大连 116024；3.中海石油气电集团有限责任公司技术研发中心，北京 100028)

0 引 言

波纹结构由于其特殊的力学性能特征，且加工方便，为工程中常见的一种结构形式．如冲压成型的波纹板应用于土木工程中，以及各式各样的波纹管应用于工业传输装置[1]．波纹结构的特点：保证其中一方向力学性能不变的同时，增加了另一方向结构的柔度；形成波纹的厚度，一定程度上增加了波纹结构在厚度方向上的抗弯能力，从而提高承载能力．随着工程应用环境的不同，波纹结构的截面形式呈现多种多样，波纹板考虑实用功能性常常采用锯齿型；而波纹管大多采用波浪式截面，从而避免管道受荷载时呈现应力集中现象[2]．

对于波纹结构力学性能的研究，始于波纹板的力学行为分析．如赵金涛等[3]借用平面曲梁的思想，波纹的曲率决定弧线截面的中性轴位置，通过应变能守恒分析了波纹板轴向拉伸行为，给出了圆弧形波纹板承受拉伸荷载时变形及应力应变的表达式．对于波纹板的弯曲性能，由于波纹板大多呈现正交各向异性性能，王小平等[4]基于层合板壳理论推导了适用于任意截面形式的波纹板两个方向上的弯曲刚度与面外的扭转刚度．但由于其基于截面几何惯性矩求得，忽略了波纹截面的具体形状，因此求得的力学性能参数同实际结构存在较大误差．相比于波纹板，波纹管由于微观存在曲率的影响，其力学性能的分析相对较难．因此20世纪后半叶大量学者对其做了相关力学性能研究，最初同样将波纹管简化为梁模型进行分析．后来随着薄壳理论的发展完善，波纹管被看作圆环壳与环板的组合，Zhu等[5]采用了摄动法、Xia等[6]采用了渐近积分法、Biancolini[7]采用了能量法分别给出了波纹管基本力学行为的理论解．但是由于波纹结构形式的特殊性，理论通常难于求得准确解，且计算过程复杂、烦琐．随着有限元计算技术的后期发展，形式多样的波纹结构往往可借助数值方法分析相关结构的力学行为．例如，Xia等[8]采用了商业有限元软件建立多层波纹管数值模型分析多层波纹管的基本力学性能，以及冲压成型所致残余应力对结构力学性能的影响．但是对特殊截面的波纹结构建立数值模型需要较大工作量．

上述研究仅仅局限于求解波纹结构的局部细节力学行为．当波纹结构形式复杂或波纹结构较大、较长时，工程实践中往往更关注波纹结构的整体力学性能与行为．如幅面远大于波纹高度的波纹板，或者长度远大于截面直径的波纹管．此时波纹的宏观力学性能参数往往更受到关注．因此，邓兵等[9]将等效的分析方法引入波纹结构的分析中，显著地提高了分析效率．但其对波纹单胞的选取方法以及几何曲率的影响并未做详细的讨论和探究．本文通过渐近均匀化方法新格式[10-13]，借用商业有限元软件的二次开发程序，求解波纹单胞结构的等效力学性能参数．同时研究单胞选取的不同对等效性能参数的影响．其所得规律为波纹结构的等效分析提供单胞选取规则．此外，针对某一波纹板结构建立精细有限元模型，通过与等效模拟基本力学行为的比较，验证该方法的有效性，为工程实用波纹结构快速设计提供参考．

1 波纹结构渐近均匀化方法

波纹板和波纹管结构分别见图1、2．假设波纹结构截面如图3(a)所示，为了求解波纹的整体力学性能，理论方法由于存在大量假设往往得不到精确解，而数值模拟由于结构的复杂性建模往往烦琐，相对耗时．考虑到波纹结构具有周期性，本文引入渐近均匀化方法通过分析波纹单胞，获取波纹结构等效力学性能参数，并将其转化为弹性本构参数．从而原始结构只需要建立等效壳模型即可，进而分析波纹结构的力学行为，有效提高分析效率，为波纹结构的设计提供新的有效途径．

图1 波纹板Fig.1 Corrugated plate

图2 波纹管Fig.2 Corrugated pipe

1.1 波纹结构理论分析

波纹结构传统的理论求解方法是基于小变形弹性假设的，当其承受面内拉伸荷载时，假定波纹为无线宽度的曲梁，其应变基于预计变形求导得到．依据能量法原理推导求得拉伸过程位移的表达式．假如波纹结构由两半圆弧构成(图3(b)所示)，其拉伸刚度表达式如式(1)所示．其中E为波纹板材料弹性模量，R1、R2分别为波纹板的外径与内径．由式(1)可知，垂直截面的拉伸行为仅与面积、材料弹性模量有关．

(a)锯齿型波纹板

(1)

对于平面外的力学性能，如两个方向的弯曲行为与垂直于波纹结构的扭转行为，依据薄壳理论可以近似求得其弯曲和扭转刚度如式(2)～(4)所示．其中μ为波纹板材料泊松比，l为波长，H为波高，δ为波纹厚度(假定为一定厚度结构)．

(2)

(3)

(4)

1.2 渐近均匀化方法及其新格式

如前所述，传统理论方法假设太多且不具有精确性，而数值模拟需要耗费大量的精力．本文引入的渐近均匀化方法恰恰克服了上述两弊端，是两者较好的结合，在保证精度的同时也提高了分析效率[14]．板壳结构其他两个方向的尺寸明显大于厚度尺寸，在20世纪，通过弹性理论求解板壳的力学行为得到了重要的发展．而对于具有周期性结构的板壳结构，近半个世纪发展完善的均匀化方法为分析周期性板壳结构提供了严格的数学求解方法[14-15]．如图4(a)所示为典型的周期性板壳结构，其中单胞结构如图4(b)所示；α1、α2和γ为对应于单胞的正交曲线坐标系．板壳的厚度远小于整体尺寸，并假定微观单胞尺寸特征最小量为δ．因此，单胞Ω尺寸通过表达式(5)、(6)定义．其中δh1和δh2为单胞中面尺寸，F为单胞上下加强部分几何函数表达式．

(a)周期性板壳结构

-δh1/2<α1<δh1/2
-δh2/2<α2<δh2/2
γ-<γ<γ+

(5)

γ-=±δ/2±δF±(δh1/2，δh2/2)

(6)

引入快坐标ξ=(ξ1，ξ2)，z，如式(7)所示．其中A1、A2为中面坐标两个方向上的拉梅系数．位移与应力摄动展开如式(8)、(9)所示．

ξ1=α1A1/δh1
ξ2=α2A2/δh2
z=γ/δ

(7)

(9)

考虑到结构基于能量表达的控制方程式(10)，将摄动展开量代入方程中，并考虑等价摄动量对应的系数必须相等，通过系列推导可以得到位移与应力的表达式为式(11)．

∀v(x)∈VΩε

(10)

(11)

基于单胞上的平衡方程求得等效后均匀化板的荷载与应变表达式(12)，其中定义〈·〉的运算形式如式(13)所示，相应的刚度阵表达形式为式(14)．其中A为拉伸刚度系数，B为耦合刚度系数，D为弯曲刚度系数．

(12)

(13)

(14)

(15)

同时通过简化坐标及数值计算的方法可以得到结构均匀化后的等效板壳刚度系数表达式为

(16)

其中ε0与ε*为单胞单位应变场与周期性条件下对应的位移场．进一步根据文献[13]对渐近均匀化格式进行调整，如式(17)所示．具有周期性单胞结构的板壳等效刚度系数表达式如式(18)所示．其中f0λμ和f*λμ分别为单位应变对应单胞节点反作用力和周期性边界条件对应的节点反作用力．

(17)

(18)

首先对单胞施加单位位移对应的位移场χ0(λμ)，并通过商业有限元软件提取单胞上节点反作用力f0λμ；然后，对单胞施加周期性边界条件，将上步所得节点反作用力作为荷载f0λμ施加其上，得到单胞特征位移场χ*λμ；根据特征位移场求得其对应的单胞结构反作用力f*λμ．最后依据式(18)求得周期性均匀化板壳的等效刚度系数．

2 波纹板等效力学性能分析

波纹板常见的截面形式如图5所示．在提供相同抗弯刚度前提下，波浪型(图5(a))相比于锯齿型(图5(b)～(d))波纹板节省材料；但是波浪型波纹板相较于锯齿型制造工序复杂．本章选取经典的波纹板截面图5(a)、(b)进行等效刚度计算以及尺寸敏感性分析，建立波纹板精确模型进行误差分析对比．

(a)波浪型波纹板

2.1 基于波纹单胞的等效刚度参数计算

(a)波浪型波纹板

对于单位应变场对应的位移场，不同的单元类型其相应的位移场不同，当划分单胞采用实体单元时，其单位应变对应的位移场如式(19)所示；当采用壳体单元时，由于各个节点包含6个自由度，其单位应变对应的位移场如式(20)所示．

(19)

(20)

变换格式后的渐近均匀化方法，有利于借助商业有限元软件为黑箱子实现快速运算，避免了以前格式烦琐的编程实现．本文基于渐近均匀化理论方法，考虑有限元软件ANSYS为使用者提供的便捷脚本语言APDL，不仅方便单胞有限元建模，同时相关的公式运算均能依靠二次开发实现，无须引入其他高级编程语言便可实现波纹结构等效力学性能参数的求解．依据前述波浪型与锯齿型单胞几何尺寸建立有限元模型，如图7、8所示，最后求得的两种波纹板等效力学性能参数如表1、2所示．

(a)实体单元

(a)实体单元

表1 波浪型波纹板等效刚度参数Tab.1 Equivalent stiffness parameters of wave corrugated plate

为了验证渐近均匀化方法应用于波纹结构的有效性，本文引用现有的分析方法如代表体元等效方法(RVE)[16]以及简化理论分析方法作为对比．由结果数据可以发现代表体元等效方法与渐近均匀化方法所求结果误差不到5%，但两者结果同经验公式相比误差相对较大．同时基于渐近均匀化方法求解得等效刚度系数较代表体元等效方法结果大．而基于壳体单元的计算结果同基于实体单元相比误差更小，但壳体单元的采用大大地提升了效率．

表2 锯齿型波纹板等效刚度参数Tab.2 Equivalent stiffness parameters of sawtooth corrugated plate

2.2 单胞尺寸敏感性分析

从对比结果可以发现，在整个渐近均匀化方法推导的过程中，单胞尺寸选取对结果的影响起着主要的作用．为准确选择单胞的形状与尺寸，从而保证所选取的单胞能够较好地代表结构的力学基本性能参数[17]，本节以波浪型波纹板为例，选取不同波纹周期和宽度的单胞进行尺寸效应研究．

选取宽度一定，包括不同周期数目的单胞结构如图9所示，通过渐近均匀化方法等效求解得到其等效刚度参数如表3所示．在保持宽度一定的条件下，单胞所包含的周期逐渐增大时，除了垂直于波纹截面方向等效刚度不发生明显变化外，其他等效力学性能参数均随着周期数目的增加而减小；分析其原因为当单胞包含的最小单元越多，其力学性能越柔顺，同时越能体现真实大尺度波纹板的力学行为．

(a)1个周期

表3 波纹板等效刚度参数随周期数目的变化Tab.3 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different cycles

波纹周期一定，不同宽度的单胞结构如图10所示．当宽度逐渐增大时，从表4可以发现等效力学性能参数几乎不发生变化．这是因为宽度方向上材料和几何形状没有明显的变化，因此宽度对单胞力学性能几乎不产生任何影响．

(a)小宽度

表4 波纹板等效刚度参数随宽度的变化Tab.4 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different widths

选定宽度同波纹周期长度相等的波纹结构作为周期单胞时，不同比尺的单胞结构如图11所示．通过表5可以发现随着单胞尺寸两个方向同比例逐渐增大，等效刚度参数仍然呈现减小的趋势．但是，相对宽度固定、周期数增加的情况，波纹板等效力学性能参数变化程度较弱，特别是中比尺与大比尺之间的结果相差较小．

(a)小比尺

表5 波纹板等效刚度参数随比尺的变化Tab.5 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different scales

综上3种敏感性分析，为了更准确地通过渐近均匀化方法等效波纹结构力学性能参数，单胞应选取2～3个周期波数为宜；而宽度方向的尺寸以不小于1个波长为宜，计算求解时综合计算工作量确定单胞的几何尺寸与形状．

3 波纹板等效模型分析及对比

为了验证等效方法的准确性，本章建立真实波纹板的精细有限元模型，在基本力学行为下分析对比精细模型与等效模型的变形响应，进一步确定渐近均匀化方法的适用范围．

3.1 等效有限元模型

凭借渐近均匀化方法求解的波浪型与锯齿型等效刚度参数并不能直接应用于等效数值模型中．依据几何特点可知两种波纹板等效结构表征为典型的正交各向异性，其力与位移的关系表达式如式(21)所示．根据复合材料板壳结构理论相关公式(22)～(24)，以波浪型波纹板为例等效各向异性壳的厚度t可通过式(25)求解，通过取平均计算可以得到壳体的厚度t=5 mm；材料本构关系通过前述参数可以求得，如式(26)所示．

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3.2 基本力学行为对比分析

依据上述求得的材料参数借助商业有限元软件建立长宽均为50 cm的波纹板等效数值模型以及精细模型，相应结构参数与前述单胞模型相同．

实际中应用的波纹板，在节省材料的同时能够提升截面抗弯刚度．为了验证实际波纹板与等效各向异性板的抗弯能力，本文建立经典的四边固支板模型，在整个结构中心处施加压力荷载．在集中力作用下变形响应如图12、13所示，在100 N 荷载作用下，结构中心位置的位移响应分别为3.567 mm和3.498 mm，两者之间的误差为1.93%．可见等效板能够模拟原始波纹板的宏观位移响应．但是在离中心荷载位置较远的区域，等效模型不能较好地模拟其变形行为．这是因为等效力学性能参数等效时忽略了耦合行为对其造成的影响．

图12 波纹板结构变形响应Fig.12 Deformation response of corrugated plate structure

图13 等效板结构变形响应Fig.13 Deformation response of equivalent corrugated plate

4 结 论

(1)渐近均匀化方法能够快速有效地实现波纹结构的等效力学性能求解，同传统的经验公式与代表体元等效方法相比，误差不到2%．

(2)通过单胞尺寸效应分析发现，单胞尺寸和形状的选取对等效性能参数的影响明显，单胞包含的最小单元越多，其结果越接近真实情况．建立的单胞包含周期以2～3个为宜，而宽度方向不低于1个周期长度即可．

(3)当开展基于波纹单胞的宏观结构力学性能分析时，基于渐近均匀化方法的等效力学性能分析能够在保证精度的前提下提高分析效率．

(4)对于相对精细的有限元模型，其等效模型的力学性能参数通过线性位移场假设求得，因此无法准确地模拟完整模型的非线性行为．

综上所述，渐近均匀化方法为波纹结构的分析及设计提供了一种新的高效求解方法，为工程设计制造提供了有益参考．