沟谷地形高填方涵洞竖向土压力数值模拟与计算方法研究

程 振 威，李 又 云，李 松，张 丙 文，曹 世 江

(1.中国电建集团贵阳勘测设计研究院有限公司，贵州 贵阳 550081；2.贵州省建筑信息模型(BIM)工程技术研究中心，贵州 贵阳 550081；3.长安大学 公路学院，陕西 西安 710064)

0 引 言

受地形、填料性质、涵洞结构尺寸等多种因素的影响，沟谷地形高填方涵洞所受竖向土压力已不再等于上方土重，其受力分析较为复杂．

Marston[1]提出采用散体极限平衡理论来计算填埋式涵管土压力，该理论适用于无黏性土，当填土存在黏聚力时，黏聚力的大小也会对涵管土压力的大小产生影响[2]．顾安全[3]通过多组模型试验，研究了不同情况下涵洞土压力与覆土高度之间的关系，并通过弹性理论得出涵管土压力的计算方法．Vaslestad等[4]通过现场测试得出：沟谷地形能够使得涵洞所受土荷载降低．杨锡武等[5-6]通过统计分析大量试验数据，得出涵洞受力的计算公式．文献[7-9]给出了适用于矩形沟槽内设涵时的土压力计算方法．McGuigan等[10]通过模型试验与有限元模拟得出：沟谷地形高填方涵洞土压力集中系数为0.28．文献[11-12]推导出了梯形沟埋涵洞土压力计算公式．马强等[13]通过数值模拟得出：沟谷地形中对涵洞土压力影响最明显的两种因素为沟底宽度与涵洞两侧边坡坡角．冯忠居等[14]通过室内模型试验得出：沟底宽度越大，涵洞垂直土压力集中系数越大；涵洞两侧边坡坡角越大，涵洞垂直土压力集中系数越小．郝宇萌等[15]通过数值模拟研究了各种因素对涵洞土压力的影响．

上述文献对涵洞土压力进行了较为广泛的研究，也取得了丰硕的成果；在理论研究方面，虽然对沟谷地形涵洞上方能够产生土拱效应有所提及，但得出的理论公式并未真正体现土拱效应的形成机理．因此，本文对此展开相关研究．

1 数值模拟

1.1 数值模拟工况与模型建立

本文以某一高速公路高填方涵洞项目为依托．该高速公路某桩号处存在一条冲沟，冲沟两侧边坡较陡，冲沟位置处存在一64 m×5.2 m×4.5 m 盖板涵，如图1所示，涵洞上方填方高度为25～33 m，填料为黏土，根据室内试验结果，涵洞上方填土的物理力学参数如表1所示．

为探明边坡-填土-涵之间的相互作用机理，本文依托上述项目，首先进行了数值模拟分析．由于冲沟两侧边坡与沟底以及涵洞结构弹性模量远大于填料弹性模量，在数值模拟时不考虑两侧边坡、沟底、涵洞结构的变形，将它们按照刚体进行考虑．本文共模拟了6种工况(如表2所示)，涵洞上方填料采用摩尔-库仑模型，两侧岩体、基底、涵洞结构均采用弹性模型，填料与岩体、涵洞结构接触面设置接触单元来模拟岩体-填料-结构之间的相对滑移，岩体与填料之间以及结构与填料之间接触单元的摩擦因数近似取tanφ(φ为填料的内摩擦角)．边界约束方面，对模型两侧进行水平约束，模型底部进行竖向约束与水平约束．为更加真实地模拟现场施工，在数值模拟时，涵洞上方填料按照每层1 m的厚度进行填筑，涵洞两侧填料按照每层1 m的厚度进行对称填筑．其中某一工况模型建立与网格划分效果如图2所示．

图1 沟谷地形高填方涵洞现场Fig.1 On site of high filling culvert in trench terrain

表1 填料物理力学参数Tab.1 Physical and mechanical parameters of filling

表2 数值模拟工况与编号Tab.2 Numerical simulation conditions and numbers

图2 模型建立与网格划分效果Fig.2 Modeling and meshing effect

1.2 数值模拟结果与分析

M60-1、M60-2、M60-3工况下，涵洞上方填土的竖向沉降云图如图3所示．由图可见，沟底宽度较小时，涵洞上方同一高度处的填土竖向沉降沿横向的变化规律为先增后减；随着沟底宽度的不断增加，由于涵洞两侧的“胸腔”不断增大，在涵洞顶部至涵洞上方某一高度范围内，填土竖向沉降在水平方向的变化规律为先增后减再增再减．

(a)M60-1

3种工况下，随着填土高度的不断增加，涵洞平均竖向土压力的变化规律如图4所示，从图中可以看出，3种工况下，涵洞平均竖向土压力σav均随着填土高度h的不断增加而逐渐增大，且沟底宽度越小，σav增速越小．当填土高度小于某一高度时，σav约等于涵洞上方填土自重γh；当填土高度大于此高度时，σav<γh，且随着填土高度的增加，σav与γh的差值越来越大．涵洞两侧边坡坡角等于60°时，当沟底宽度大于2倍洞宽，涵洞所受竖向土压力基本接近填土自重γh．

图4 涵洞平均竖向土压力随填土高度的变化Fig.4 Variation of average vertical earth pressure of culvert with filling height

M40-2、M60-2、M80-2、M90-2工况下，σav与h的关系曲线如图5所示．由图可见，随着h的不断增加，4种工况下的σav均不断增大；当h较小时，4种工况下σav≈γh；当边坡坡角在60°～90°，h大于某一高度时，会出现σav<γh的情况，且随着边坡坡角的增加，开始出现σav<γh情况时的填土高度越来越小；随着h不断增加，σav趋于某一值．40°边坡坡角下，填土高度在0～30 m范围内未出现σav<γh的情况，也未出现σav<γh的趋势．

图5 不同边坡坡角下涵洞平均竖向土压力随填土高度的变化Fig.5 Variation of average vertical earth pressure of culvert with filling height under different slope angles

从上述模拟结果中可以得出：沟谷地形条件下，由于涵洞两侧边坡的存在，阻碍了填土沉降，土中应力发生调整，土中产生土拱效应，使得土中应力不能完全向下传递．填土高度较小时，无论其他条件如何变化，涵洞竖向土压力均接近于填土自重，即此时涵洞上方填土中不能产生土拱效应；当边坡坡角小于某一角度时，无论其他条件如何变化，涵洞上方填土中也不能产生土拱效应．当涵洞上方填土中产生土拱效应时，随着填土高度的不断增加，涵洞所受竖向土压力逐渐增大，但增长速率逐渐减小；沟底宽度越小、沟谷两侧边坡坡角与填土高度越大，产生的土拱效应越明显．

2 沟谷地形涵洞土压力理论计算

2.1 沟谷地形填土侧压力系数

文献[16-23]指出倾斜边坡或平行挡墙的存在，会使沟槽内或挡墙内填土中的主应力方向发生偏转，形成圆弧或悬链线形状的小主应力拱，且在进行相关计算时，大都假定小主应力拱轨迹线为圆弧形状．Kellogg[18]假定沟内填土处于主动极限状态，给出了沟槽内填土中形成土拱效应的条件为α>45°+φ/2(α为沟谷两侧边坡坡角，φ为填土内摩擦角)，并推导出了沟内填土为无黏性土时的填土侧压力系数．

在本文研究中，假定沟谷内填土产生土拱效应时，填土中小主应力拱轨迹线为圆弧形状(如图6所示)，且假定填土处于主动极限状态．当沟内填土为黏性土，边坡坡角满足α>45°+φ/2时，为求涵洞所受土压力，本文首先在Kellogg[18]研究成果的基础上，推导出此种状况下沟内填土的侧压力系数．沟内填土中的小主应力拱轨迹线及其上任意微单元体处的摩尔圆如图6所示．将摩尔圆纵坐标轴向左平移m个单位，m=ccotφ(c为填土黏聚力)，令：

σ′1=σ1+m
σ′3=σ3+m
σ′h=σh+m
σ′v=σv+m

(1)

由图6中的摩尔圆可知：

τ′=(σ′1-σ′3)sinθcosθ

(2)

其中θ为小主应力拱该微单元体处的大主应力方向与水平方向的夹角．该点处横向土压力σ′h为

σ′h=τ′cotθ+σ′3

(3)

联立式(2)、(3)可得：

σ′h=σ′1cos2θ+σ′3sin2θ

(4)

图6 沟内填土中小主应力拱及其上某一点处的摩尔圆Fig.6 Small principal stress arch and Mohr circle at a certain point of filling in ditch

将上式两端同时除以σ′1，并且令K0=σ′3/σ′1=tan2(45°-φ/2)，可将式(4)转化为

(5)

又由于σ′h-σ′3=σ′1-σ′v(σ′v为该微单元体处竖向土压力)，即σ′h/σ′1-K0=1-σ′v/σ′1，将该式代入式(5)可知：

σ′v/σ′1=sin2θ+K0cos2θ

(6)

在边坡处，大主应力方向与水平方向的夹角θs=3π/4+φ/2-α，其中π/4+φ/2<α<π/2[18]，在沟槽中心处大主应力方向与水平方向的夹角为π/2，则得出下式：

(7)

式(7)中σ′av=σav+m，σav为沟内填土在某一高度处小主应力拱上的平均竖向土压力．

由式(5)、(7)可知：

(8)

(9)

因为σ′av=σav+m，σ′h=σh+m，代入式(8)可知：

σh=K1σav+m(K1-1)=K1(σav+ccotφ)-ccotφ

(10)

上式为沟内填土中形成土拱效应时，沟内任意高度处小主应力拱上的平均竖向土压力σav与此高度边坡处的侧向土压力σh的关系．

2.2 沟谷地形涵洞土压力计算模型的建立及公式推导

根据上述分析，沟谷地形条件下，当涵洞两侧边坡坡角满足α>45°+φ/2时，在高填方涵洞上方一定高度范围内，涵洞两侧土体沉降大于涵洞上方土体沉降，超过此高度时，涵洞上方土体沉降呈现先增大后减小的变化规律，此部分土体中产生土拱效应．对涵洞竖向土压力计算时，建立如图7所示的计算模型，并建立如图7所示的坐标系．假设涵洞两侧地基及涵洞为刚性体，在计算中不考虑它们的变形．令Ⅰ土体与Ⅱ土体交界面无沉降差时，涵洞上方的填土高度(等沉面高度)为h1，此高度也为涵洞上方开始产生土拱效应时的高度．当h≤h1时，取Ⅰ土体中某一高度z处的水平微元土体为研究对象，如图7所示，该微元土体在竖直方向受力平衡方程为

σavI{s+[H+(h-z)]cotα}+dWg=

2τdz+(σavI+dσavI){s+[H+(h-z)]cotα}

(11)

式中：dWg为此微元土体自重，dWg=γ{s+[H+(h-z)]cotα}dz；σavI为该微元土体所受竖向土压力的平均值；s为涵洞两侧沟槽宽度；H为涵洞高度；τ为高度z处微元土体所受Ⅱ土体对其产生的向上剪应力，τ=σhtanφ+c，σh为高度为z时边坡处的侧向土压力，由式(10)可得高度z处τ与σavI的关系式如下：

τ=K1σavItanφ+c

(12)

将式(12)代入式(11)中，化简可得到：

(13)

式(13)为一阶非线性微分方程，此方程的通解为

σavI=C[s+(H+h-z)cotα]2K1tan φtan α+

(14)

式(14)中C为常数，将边界条件z=0，σavI=0代入式(14)中可得

[s+(H+h)cotα]-2K1tan φtan α

(15)

将式(15)代入式(14)，就可得到当h≤h1时，Ⅰ土体深度z处平均土压力计算公式：

(16)

由式(12)可得到剪应力τ1：

(17)

当h≤h1时，涵洞顶部的平均附加应力F1为

(18)

则作用在涵洞顶部的平均竖向应力σav1为

σav1=F1/B+γh

(19)

图7 h≤h1时涵洞上方土体受力计算模型Fig.7 Calculation model of soil stress above culvert when h≤h1

当涵洞上方填土高度h>h1时，建立如图8所示的计算模型．Ⅲ土体中将形成土拱效应，该部分土体中任一深度z处的平均竖向土压力计算方法与上述计算方法类似，按照上述计算方法得出：当z=h-h1时，即等沉面h1处的平均竖向土压力为

(20)

式中：b为沟底宽度，b=2s+B．

图8 h>h1时涵洞上方土体受力计算模型Fig.8 Calculation model of soil stress above culvert when h>h1

取Ⅰ土体中水平微元土体进行受力分析，可得到式(14)，再根据边界条件z=h-h1，σavI=σavⅢ(h-h1)可得式(14)中常数C的表达式：

C2=

γctanα[b+2(H+h1)cotα]K21tanφ(tanφtanα-1)×

γ[stanα+(H+h1)]2K1tanφtanα-1+c2K1tanφ×

[s+(H+h1)cotα]-2K1tan φtan α

(21)

将式(21)代入式(14)中，可得到当h>h1时，Ⅰ土体中平均竖向土压力计算公式：

σavI=C2[s+(H+h-z)cotα]2K1tan φtan α+

(22)

由式(12)与(22)可得出，此时Ⅰ土体与Ⅱ土体之间的剪应力τ2：

τ2=C2K1tanφ×

[s+(H+h-z)cotα]2K1tan φtan α+

(23)

当h>h1时，深度z范围内Ⅰ土体对Ⅱ土体产生的平均附加应力为

{[s+(H+h-z)cotα]K1tan φtan α+1-

[s+(H+h1)cotα]K1tan φtan α+1}+

(24)

当h>h1时，Ⅱ土体中深度z处的平均竖向土压力为

σavⅡ=σavⅢ(h-h1)+2F2/B+γ(z-h1)

(25)

当h>h1时，涵洞顶部平均竖向应力σav2为

σav2=σavⅢ(h-h1)+2F2/B+γ(h-h1)

(26)

从数值模拟结果与分析中可知，当Ⅰ土体与Ⅱ土体压缩量相等时，涵洞上方填土中开始产生土拱效应，此时填土高度为等沉面高度h1．令Ⅰ土体的压缩量为ΔⅠ，Ⅱ土体的压缩量为ΔⅡ，则根据弹性理论可得到下式：

(27)

(28)

令ΔⅠ=ΔⅡ就可得到等沉面高度h1．

2.3 结果对比与分析

在涵洞顶部埋设3组土压力盒，在涵洞填埋过程中，每填筑1 m采集一次数据，最终取3组土压力盒的平均值作为涵洞平均竖向土压力．本文所依托项目与M60-1工况相近，取M60-1工况下的数值模拟结果作为本项目的数值模拟结果．利用上述推导公式计算本文工程案例，并将计算结果与数值模拟结果以及现场实际测试结果对比，如图9所示．

从图中可以看出：3种结果大小接近、变化规律一致，即填土高度在0～30 m时，随着填土高度的增加，3种方法得到的涵洞平均竖向土压力均不断增长，涵洞填埋初期，3种结果均接近填土自重γh；填土高度为10 m左右时，3种结果均开始出现小于γh的情况，且随着填土高度增加，3种结果的增长速率逐渐减小，说明此种工况下，涵洞填土高度较大时，涵洞上方填土中产生了土拱效应，且填土高度越大，土拱效应越明显．

图9 各种结果对比Fig.9 Comparison of various results

3 结 论

(1)沟谷地形涵洞上方填土中的土拱效应与涵洞两侧边坡坡角、沟底宽度、填料的物理力学性质、涵洞尺寸、填土高度等多种因素有关．涵洞两侧边坡坡角、填土高度两种因素决定涵洞上方填土中能否产生土拱效应；其余因素决定土拱效应的明显程度．

(2)当涵洞两侧边坡坡角大于45°+φ/2，填土高度大于等沉面高度h1时，涵洞两侧边坡坡角与填土高度越大、沟底宽度越小，涵洞上方填土中的土拱效应越明显．

(3)基于小主应力拱概念，推导出了沟谷内填土为黏性土时的侧压力系数K1，并推导出了沟谷地形涵洞上方填土中产生土拱效应时的涵洞竖向土压力计算公式，公式综合考虑了涵洞结构尺寸、填土高度、边坡角度、沟底宽度、填料性质等多种因素．通过对比，验证了本文计算公式的准确性．

(4)沟谷地形中，填土高度小于等沉面高度h1时，可采用填土自重γh作为涵洞所受竖向土压力；填土高度大于等沉面高度h1，且其他条件满足填土中形成土拱效应时，随着填土高度的增加，涵洞所受竖向土压力不断增大，但小于填土自重γh，且增速随填土高度的增加而逐渐减小．

(5)沟谷地形条件下，在涵洞两侧边坡较陡、沟底宽度较小、涵洞填土高度较大时，涵洞上方填土中产生的土拱效应具有减小涵洞结构受力的作用，涵洞结构设计时可予以考虑，避免因结构设计强度过剩，造成成本增加．