地质灾害治理设计中崩塌落石的运动特征分析

廖俊展

(北京市勘察设计研究院有限公司，北京 100038)

1 概述

危岩落石是我国山区一种多发地质灾害[1,2]，其失稳破坏过程也称为崩塌[3]，一般是指地质体在重力作用下，从高陡坡突然加速崩落或滚落(跳跃)，具有明显的拉断和倾覆现象。崩塌的地质体通常为大体积岩体或土体；崩塌落石则是斜坡和高陡坡上的个别危岩体在重力和其他外力作用下，突然向下滚落的现象[4]，其运动轨迹和动能的大小是防护网设计的关键因素，直接影响到防护网实施效果的成败。因此，对崩塌落石运动特征的研究，可以为崩塌落石工程治理设计提供依据，具有重大意义[5]。

目前，关于崩塌落石的计算理论主要分为经验分析法和运动学分析方法[1]。经验分析法中具有代表性的为前苏联尼米罗依尼什维里教授在大量野外现场试验基础上提出的落石运动速度的方法，但该方法依据的现场试验性较强，对于边坡坡度变化、距离拟保护目标的远近以及坡面植被情况等较难综合考虑[4,6]。而运动学分析方法是对落石局部过程运动状态的描述。该方法是以牛顿三大运动定律和碰撞理论为指导，对大量的模型试验和现场试验的研究结果进行分析，结合运动学公式对落石运动的轨迹进行表述，该方法比经验分析方法更多地考虑边坡的特性和落石的运动轨迹之间的相互关系[7]。因此，本文将基于运动学原理对落石运动轨迹进行计算分析，并将其与数值模拟的结果进行对比，以便于探讨落石的落点分布、运动速度、弹跳高度及动能分布等问题，并对相关的治理设计提出建议。

2 崩塌落石的运动模式

落石的整个运动过程一般可分为坠落、碰撞、滑动和滚动四个阶段。坠落一般认为是落石在自重作用下不受阻挡失稳的自由落体运动，在此，简化为不考虑空气阻力和升力的影响；碰撞弹跳是落石运动过程中最为复杂和不确定的，一般可简化为刚体碰撞；滑动为落石沿着某一斜面运动；滚动可简化为圆形刚体在某一斜面上的摩擦运动。

2.1 坠落

落石坠落可认为是自由落体运动。根据运动学原理，在任意高度h下落时，下落速度和下落时间为：

(1)

(2)

在上述时间内的位移为：

(3)

其中,g为重力加速度,m/s2；v为落石的自由落体速度,m/s；v0为落石初始速度,m/s；h为垂直位移,m；H为t时间内总位移,m。

2.2 碰撞弹跳

落石做碰撞弹跳运动时，可假定为做斜抛运动，即以一定的初速度和水平方向成一定角度抛出，运动轨迹为抛物线。根据运动学原理，可以把斜抛运动看成如图1所示的合运动来简化：水平方向上匀速直线运动，垂直方向上上抛运动，如图1所示。

落石碰撞后会损失部分能量，我们可以用恢复系数法来描述碰撞后落石的运动，这样可以避免碰撞过程中非线性变形以及摩擦问题的直接讨论，便于在工程实践中应用[8]。

根据碰撞理论，落石第i次碰撞后其初始速度为：

(4)

其中，Rt为沿x方向的恢复系数；Rn为沿y方向的恢复系数。可根据表1取值。

由运动学基本原理，落石与基岩碰撞后，速度方程为：

(5)

其中，A为坡面与水平面的夹角，(°)；B为落石开始弹跳时初速度方向与边坡坡面的夹角，(°)；vx为落石任一时刻沿x方向的速度分量,m/s；vy为落石任一时刻沿y方向的速度分量,m/s；t为碰撞发生开始至任一计算点的时间,s。

落石碰撞后的运动轨迹方程为：

(6)

其中,x为x方向上的位移分量；y为y方向上的位移分量。

表1 恢复系数取值表[8]

2.3 滑动

落石在斜坡坡面上，其自重下滑分力大于摩擦力时，在任意垂直位移h，其速度v可用式(7)表示：

(7)

其中,v为落石滑动速度,m/s；f为摩擦系数，无量纲；其余符号同前。

2.4 滚动

当落石沿斜坡面发生滚动运动时，为了便于计算分析，如前所述，可将落石滚动简化为圆形刚体在斜面上的摩擦运动，此时，对于任意位置L有：

(8)

2.5 动能的计算

落石最后具有的总动能可通过式(9)计算，以便为防护设计提供依据。

(9)

其中,E为落石具有的总动能，J；I为落石的转动惯量，kg/m2；ω为落石的转动角速度，rad/s。

3 算例

北京市密云区密关路一支线公路边坡，基岩为黑云母石英片麻岩，该边坡可分为二级坡，上段边坡坡高约65 m，属于高陡坡，坡面陡直；下段边坡紧接道路，坡高约15 m，边坡坡面角度约24°，道路距离危岩体水平距离约37 m。坡顶有一等效直径约2 m的危岩体。具体示意图见图2。

3.1 基于运动学理论的计算

3.1.1 落石运动状态

在上述坡面形态下，整个落石运动模式可简化为坠落和碰撞弹跳。落石在自身重力下，不考虑风阻等影响，坠落运动按照自由落体运动考虑，随后，落石与坡面发生碰撞弹跳。

3.1.2 参数选取

为了便于计算，将上述落石理想化为直径为2 m的球体，岩石重度取值为25 kN/m3，落石的初速度为0，下落高度为65 m，法向恢复系数Rn取值0.32，切向恢复系数Rt取值0.78。根据式(1)～式(6)计算，结果见表2。

表2 计算结果一览表

从表2中可以看出，落石在坠落阶段历时3.60 s，第一次碰撞前的速度为36.00 m/s。根据式(4)落石完成坠落后将完成第一次碰撞弹跳，采用恢复系数法计算得到沿x方向和y方向上的速度分别为9.50 m/s和10.40 m/s。再由式(5),式(6)计算得出第一次碰撞弹跳历时约1.90 s，沿x方向的位移约39.80 m，水平总位移为39.00 m，在弹跳历时的中间过程其弹跳高度最大，为5.40 m。

同理，根据上述公式可求得第三次碰撞弹跳完成后x方向上的初始速度为8.7 m/s，y方向上的初始速度为0.4 m/s，历时0.12 s，弹跳高度接近0 m，等同于贴近地面的滚动。因此，落石历经3次碰撞弹跳后停止。

3.1.3 计算结果分析

根据表2的计算结果，落石的运动轨迹超出了道路边线，因此，需要加以防护。落石在完成坠落后，在第一次碰撞弹跳时出现了最大速度和最大弹跳高度，最大合速度为14.10 m/s，不考虑落石的转动，落石具有的动能根据式(9)计算可得E=1 040 kJ。

3.2 数值模拟

本文运用Rockfall[9]软件对落石运动轨迹进行数值模拟。

3.2.1 基本假定条件

1)落石的形状为球体，且质量分布均匀；

2)落石之间的水平相互作用力可以忽略；

3)落石碰撞后不发生碎裂，保持完整；

4)落石及其相关坡面均为各向同性弹塑性体；

5)与分析落石相关的坡面为折线形式连接而成的；

6)空气阻力作用可以忽略。

3.2.2 参数选取

基本参数选取同3.1节。

3.2.3 落石运动模拟结果

1)落石运动轨迹。

落石的运动轨迹见图3，该图为模拟落石坠落50次的模拟结果。从图3中可以看出，落石首先以坠落的模式下落，然后偏离紧邻道路的一号边坡，表明落石以碰撞弹跳为主。当落石再次下落时，接触路面，发生第二次碰撞弹跳，然后发生第三次碰撞弹跳，直至以滚动模式为主，模拟结果基本与运动学计算结果一致。

图4为落石模拟的最终落点分布直方图，从图4中可以看出，落点主要分布在道路面及右侧路附近(概率约75%)，这基本上与运动学计算结果相吻合。

2)落石的弹跳高度。

落石的弹跳高度曲线见图5。从图5中可以看出，当落石第一次坠落后接触到一级坡时，以碰撞弹跳为主，弹跳高度约在5.2 m，然后发生第二次、第三次碰撞弹跳，弹跳高度锐减，模拟的弹跳模式与运动学计算结果趋势一致，但在量值上有所差异，这可能与模拟软件的计算有关，因为该软件的计算基于数理统计基础上的随机模拟，而运动学计算则相对于固定。

3)落石的动能。

落石的动能分布曲线见图6。从图6中可以看出，在道路左侧，落石的动能均值一般在1 200 kJ左右。这与运动学计算结果吻合较好。因此，在做被动网设计时，其设置位置一般放在道路左侧或一号坡上第一次碰撞弹跳点之外较为合理。

根据以上计算分析，落石的动能基本上在1 000 kJ～1 250 kJ之间，因此建议在距离落石水平距离7.5 m处设置高度不小于6.0 m、拦截撞击能为1 500 kJ的被动防护网。

3.2.4 工程实例及实施效果分析

在北京地区的山区公路危岩体的防治工程设计中，上述研究成果获得了较为广泛的应用，仍以上述算例为例简要介绍其实施效果。

该支线道路为密云区两相邻景区的交通要道，不仅环境保护和景观要求高，而且施工运输条件非常差。道路一侧为河流，另一侧即为30 m～70 m高的人工切坡。经过多年人类活动、物理风化和化学风化作用，原人工切坡坡面基本稳定的岩石逐渐变化为欠稳定或不稳定的危岩，因此，需要采取措施消除上述危岩体对该公路的正常运营产生安全隐患。

根据本文的设计理念，依据勘查成果，并在以上计算分析的基础上，选用了RXI-150型防护网，系统高度为6.0 m，长度根据防护位置及要求设定，本段为55 m。图7为施工完成后的现场。

采用该治理设计方案，材料运输相对方便，相对圬工工程也更加经济，施工时对环境的破坏小(基本不破坏原有的灌木，局部影响处仅削掉侧枝，保留树干)；同时，不仅场地的适应性强(基本不需要整平)，可做到随场地地形设置，而且施工速度快、一般工期仅为圬工的1/4～1/3。该工程从2017年施工至今，已成功拦截上部多次小规模落石灾害。

4 结论

落石运动的影响因素很多，运动形式也非常复杂，要精确求解危岩的路径方程难度很大。本文基于运动学原理，根据落石的运动模式简化计算了落石的运动轨迹，并与数值模拟的计算结果加以对比，可得以下两点结论：

1)落石运动路径和预测的基础为危岩崩落后的起始运动状态，起始状态可通过运动学原理计算求得。基于运动学原理的运动方程基本能够描述理想情况下落石的运动轨迹。

2)Rockfall数值模拟的结果与理论计算较为吻合，两者的计算结果可相互验证，以便为防护设计提供依据。

基于运动学计算和数值模拟计算，不仅能够计算落石沿坡面的完整运动路径，而且也能够预测落石在坡面的跳跃段位置和滚滑段位置。

根据上述计算、分析，在实际工程设计中，可选择落石弹跳高度小、动能小、便于施工的位置，结合防治要求，灵活设置防护网。但本文也存在有不足之处。实际上，崩塌落石的运动轨迹受到多种因素的影响，比如：落石的形状、落石运动过程中的碎裂以及其相互碰撞对落石运动轨迹的影响等本文均未考虑，这方面的工作应当深入研究，以便建立完整的崩塌落石评价体系。