平面几何中最值问题的探究

魏华

摘要：当研究某几何元素在题中给定的条件下动时，求某个量的最大值或者最小值被称作平面几何的最值问题。常见模型有：两点之间线段最短；垂线段最短；两边之差小于第三边；利用勾股定理其中一边为定值，求一边最大即求另一边最小；“将军饮马问题”“隐形圆问题”。

关键词：几何最值；平面几何；隐形圆；几何模型；最小值

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）15-0101

一、课题解读

当我们研究平面几何的运动问题时，某元素在给定的条件下动时，求某个量的最大值或者最小值被称作平面几何的最值问题。线段的长短，图形的周长、面积，角的度数，线段和差都可以是这个几何量。这类问题可以以初中课本所学的特殊三角形、四边形、圆、平面直角坐标系为背景，可以把方程、不等式、函数等重要知识联系在一起考查。近几年与隐形圆的结合使考题变得更综合且具有挑战性。它能较全面地考查一个学生的应变能力、分析问题及实践操作解决问题的能力还有空间想象能力。

最值问题常见有两类：1.函数解法，建立一个函数关系式，利用函数特有的增减性结合背景条件给定的范围求最值；2.几何解法，将题目中的几何最值问题转化成我们常见的几何模型，常见的模型有：两点之间线段最短；垂线段最短；两边之差小于第三边；利用勾股定理其中一边为定值，求一边最大即求另一边最小；“将军饮马问题”“隐形圆问题”。

题目中至少有一个动点是最值问题的必要条件，因为在动的过程中才会出现极限位置也就是我们说的最值。比如饮马问题，折点就是那个必须存在的动点，并且它的运动轨迹是一条直线，只要能发现这个模型，就可以作一个定点的对称点，利用基本事实“两点之间线段最短”求解即可。当然，点的运动轨迹是可以变的，比如，当点P的运动轨迹是一个圆或圆弧时，也就是本文重点要研究的“隐形圆求最值”了。

二、方法探究

1.常见类型

（1）点在圆周上动，研究它到圆外（或圆内）一定点的最值：利用圆特有的性质，若点G是圆外一定点，连接点G和圆心交圆于P、M两点，则PG、MG为最小和最大值。

（2）点在圆周上动，研究它到圆外一直线距离的最值：过圆心作定直线的垂线垂足为G交圆于P，M两点，则PG、MG为最大和最小值。

2.如何发现圆

此类题一般条件隐藏较深，于是如何由条件的固定搭配发现圆，就成了解决本类题的关键。一旦这个隐形圆出现，就会使问题思路豁然开朗，计算简单便捷，过程清晰明了，引人入胜。

（1）利用圆的定义可以构造一個隐形圆：若已知中给出的动点满足到一定点距离是定值，则此动点的运动轨迹就是以这个定点为圆心的圆或者圆弧。

例：如图（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=10，AC上一点F，CF=5，E为边BC上一点，将△CEF沿直线EF翻折，C落在P处，问点P到边AB的最小值。

解析：本题表面上是动点P随着点E在动，但是认真审题不难发现在动的过程中，点P到点F的距离不变，永远等于PF，由定义可以发现点P的运动轨迹为以点F为圆心，CF为半径的圆，而BC边为圆外一定直线符合第二类。

（2）利用圆周角定理推论可以构造一个隐形圆：若题目中有一条固定的边所对的角始终为直角，则直角顶点的运动轨迹就是一个以定边为直径的圆或者圆弧。

例：如图（2）正方形ABCD中边长是8 cm，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF相交于点O，且BE=CF，求CO的最小值。

解析：由已知不难发现△ABE≌△BCF，可证明线段BF与AE垂直。所以在点E、F位置改变的过程中，点O的位置也在改变，但是它们始终垂直，也就是线段AB所对的∠AOB是一个定值90°，由圆周角定理可以判断动点O的运动轨迹为以AB为直径的圆弧，而点C为圆外一个定点符合第一类。

（3）利用圆周角定理可以构造隐形圆：若题目中有一条定边所对的角始终是一个定角，则这个角顶点的运动轨迹就是一段圆弧。

例题：如图（3）已知等边三角形△ABC，边长为5，若P为△ABC内一动点，且满足∠APB= 120°，求线段PC长度的最小值。

解析：题目中很明显告诉我们动点P，在运动过程中∠APB是个定值120°，由圆周角定理可知，动点P的运动轨迹为以AB为弦的一段圆弧。C为圆外一定点符合第一类。

所以解这类题的核心思路是：狠抓不变量，即题中是否存在定点、定角、定长，有了上述方法的归纳，相信审题的目的就更明确，发现圆就更迅速，求最值就更快了。

（作者单位：河北省张家口市宣化第四中学075000）