椭圆周长与椭球表面积的数值计算

四川省凉山州美姑县中学 周钰承

西南林业大学湿地学院2018 级环境科学 周园钞

在科学与工程中，常常选定椭圆、椭球作为数学模型进行数值计算。辛普森数值积分、泰勒级数公式、龙贝格算法，都是对椭圆周长、椭球表面积进行数值计算的好工具。按不同精度要求，文章列出了椭圆周长和椭球表面积的数值计算公式，以供数学爱好者及普通工程师使用。

一、序言：椭圆与椭球是科学与工程常用的数学模型

星际的公转和自转，山水间的蜿蜒和盘旋，物种间的追逐和闪避……那拐弯处的美丽弧线，正是椭圆与椭球对世间万物的慷慨馈赠。于是，在科学与工程计算中，选定椭圆和椭球作为数学模型，既是自然选择，也是艺术惠顾。

然而，椭圆函数是一类高深莫测的超越函数。本文力图利用辛普森数值积分、泰勒级数公式及龙贝格算法，对椭圆周长和椭球表面积提炼出相对简洁而又精确的初等公式，以供数学爱好者及普通工程师使用。

二、用辛普森公式对椭圆周长和椭球表面积快速估值

1.椭圆周长的快速估值

与其他椭圆周长公式相比，这个公式最大的特点是没有圆周率参与运算，减少了计算量，而当椭圆趋近于圆时，圆周率自动向近似值3.122 趋近，故公式（1）的误差约为一千分之六，比辛普森公式直接结论，相对椭圆离心率误差分布更均匀。如果椭圆两个半轴长满足勾股数，公式（1）完全可以口算：当a=4，b=3 时，周长L≈22（真值为22.103…）；当a=12，b=5 时，周长L≈56（真值为55.695…）；当a=15，b=8 时，周长L≈74（真值为73.939…）。

2.椭球表面积的快速估值

旋转椭球体表面积是可以通过被积函数求原函数得到真值的，因此，可以用旋转椭球体表面积的真值来验证公式（2）的精度。验证发现，尽管公式（2）没有圆周率参与运算，但比用辛普森数值积分公式，不仅形式简单得多，而且误差更小，约为一千分之一。当a=1，b=0.5，c=0.5 时，S=5.375（真值为5.3696…）；当a=1，b=0.9，c=0.9 时，S≈10.936（ 真 值 为10.940…）；当a=1，b=1，c=0.7 时，S≈10.155（真值为10.144…）；当a=6378，b=6378，c=6357 时，S≈5.098 亿（真值为5.100…亿，地球表面积）。

三、用级数公式对椭圆周长与椭球表面积进行数值计算

在环境科学与工程的科学计算中，有时需要更高精度的数值计算。笔者曾在《数理化解题研究》发表《探索椭圆周长和椭球表面积的近似初等公式》（以下简称《探索》），被“知网”收录。公式虽然当初发表在高中版，但因为利用了贝塞尔等人派生的椭圆周长级数公式（见《探索》），所以计算式简单易算，而且精度很高。《探索》列出的椭圆周长公式和椭球表面积公式分别如下：

《探索》对椭球表面积的精度作了一个详尽的统计表，当椭球三个半轴长度不超过2 倍关系时，误差低于一万分之一；当三个半轴长度趋近相等时，误差趋近于0。《探索》因为编辑部的原因去掉了椭圆周长精度统计表，现列出，以飨读者：（表中误差率等于用近似值减去真值差，除以真值）

表1 椭圆周长公式（3）

四、用龙贝格算法对椭圆周长进行高精度数值计算

总之，科学与工程计算在选定数学模型后，应将超越函数初等化，将解析公式数值化，以供更多的数学爱好者及普通工程师使用。辛普森数值积分公式适用范围广，但若要提高精度，则表达式往往复杂。级数公式明确了函数变量与哪些自变量有关，故而更容易提高精度。龙贝格算法提高了椭圆周长公式的精度，让误差相对于离心率分布更均匀。

美国数学家、数学教育家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”本文椭球表面积正是用了类比和验证来代替复杂的数学推理和证明。