高中数学知识体系间的内在联系

计克红

摘要：事物联系性这一普遍规律在高中数学知识中显而易见，这一规律的运用能更好地把握内在知识体系。数学基础知识、思想方法一直以来都是常规数学考核中的关键，也是每年高考的关键，若能熟练够掌握基础知识、灵活运用思想方法并探索其中规律，就对高中数学理解更全面和深刻，有弹性和体系性。下文结合高中数学部分知识总结一些看法，以供相关从业人员参考。

关键词：高中数学;事物联系性;知识体系;思想方法

引言

有意识地运用事物联系性观点，通过分析、类比、归纳等去领会诸多知识，并将各种思想迁移在不同的知识和解题中，高中数学就变得更容易掌握。

一、无处不在的集合观点

高中数学、大学数学的很多分支，都先得学习集合，集合的重要性可见一斑。

集合表达的规范性、严谨性、简洁性就注定集合是数学知识的一种直接的、规范的描述方式，函数、三角、立体几何等诸多相关概念、定理的表达在集合语言的使用下才相对明确，有了明确的研究对象和范畴。准确把握集合语言于提高思维的严谨性，提升对概念、定理等的解读能力和判断能力。

集合思想更是无处不在，认知对象的归纳、知识结构、层次、体系的形成。好比电脑需要分盘储存东西，而不是全部东西铺在桌面上，好比生活中买书，先买了几本，后来逐渐又买，书多了就想着去整理书房，对书进行归类和分类，都是集合思想的体现。数学教师在教学中可以运用集合思想建立数学概念系统，或者在复习教学中帮助与引导学生归纳、整理数学知识，帮助学生养成这样一种集合的意识与习惯，即善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题，逐渐培养学生对事物的处理、分类、判断意识，形成一定的素养，这不仅对现在所学的高中数学有利，对其它科目也有利，甚至对将来的学习与工作问题的解决都是多了一种思考与处理方式。

二、函数是主线

高中数学的知识网络中函数是主线。函数源于研究事物运动变化规律的需要，刻画了一个变量随着另一个变量的变化状态，也可抽象概括地说函数给出一个数集到另一个数集的对应关系，广泛地讲，数可以看成特殊的函数，数的运算可以看成特殊的二元函数，有变量的地方可以涉及到函数，这样导致了高中的很多知识离不开函数这一条主线。函数的性质及几种初等函数，几乎贯穿了整个高中数学，乃至大学里也需要这些作为基础知识。

在此仅仅说一下二次函数的“神通”，一元二次函数、方程、不等式，遍布于高中数学的每个角落，从高中数学知识体系的纵向来讲，二次函数模型在基本不等式、等差数列求和公式、向量的数量积、余弦定理、圆锥曲线、方差计算等内容中直接运用，还有很多情形下，即使不是二次函数模型，也可通过适当换元后转化为二次函数模型。然而，这三个“二次”内部更是关系密切，是一体的，可以更直观地将三者展现在二次函数的图象上，这样将问题活灵活现，有助于动态分析解决一些稍难的题目。数学好玩，有时候本来说的就是一个本质，比如函数的零点、方程的根、图象与横轴交点的横坐标，只是三种不同的形态，或者说三种不同的语言表达。

函数与方程的思想更是应用广泛，不仅仅体现在知识的呈现上，在解題策略上也常常需要构造函数模型或者建立方程。

三、描述周期现象的三角函数

三角函数是描述周而复始运动变化现象的数学模型，三角函数最特殊的性质就是它的周期性，解决很多问题时要惦记着这一性质，才不会出错，对于初学者来讲难点就在于此。除此之外，其他性质或者说研究方式和其它的基本初等函数是一致的，比如直观的图象法，无论是结合三角函数图象还是特有的单位圆法都是同样有效的，都可以用于理解各种公式和直观解题。

正弦函数、余弦函数是源于圆周运动的周期函数，余弦比正弦先走了 个周期，即 。它们的性质和相关公式都几乎相应出现，学习时要注意类比与整合。

解三角形、复数、曲线的参数方程、不等式等问题，都涉及到三角函数，物理上一些具有周期性的问题，比如圆周运动、简谐运动、机械波、交流电等都用到三角函数的知识。解决有些问题时，问题中虽然没提到角，但引入角这一变量，用三角函数的代数式表示更多的量，进行三角函数的运算，使得问题通俗易懂，从这个角度角讲，三角函数具有工具性作用，显然不只是解决三角函数内部相关的问题。例如一些表面上与三角无关的代数式计算或者证明的数学问题，把其中的代数式进行恰当的三角代换，使得运算与证明简洁许多。

四、向量的工具性、渗透力

向量有数有形，它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，沟通了代数与几何，是两大佬的桥梁，导致向量的工具性就水到渠成。比如几何上用向量的分解法与坐标运算，对几何模型有了整体把握和多维度地量化，使得几何问题解析化，向量与复数也是相互照应的，好比孪生兄弟，它们的发展相得益彰，当然还有三角的计算、不等式的证明等。

解决很多数学问题时，各块数学知识及各种思想方法的相互渗透意识要强，不要看到角才想到三角函数，看到向量的符号才想到运用向量，那样太被动，好比下象棋，非得等对方下完一步才知道自己该怎么动下一步，就不会是高手。

五、函数观点看待数列

数列可看作定义域为正整数集或其子集的一类函数，数列的“影子”在高中数学中频繁出现，比如涉及到逼近方法时，涉及到给数据找规律时……数列出现得很早，也常常会结合些史料出现。

等差数列与一次函数作类比，等比数列与指数函数作类比，高考对数列及其运算特别是对等差数列和等比数列这两类是直接考查的。函数问题的很多解题方法运用到数列问题的解决，比如待定系数法、图象法、换元法、配凑和分离常数法等。这可谓函数观点下的数列。当然，学习中，等差数列与等比数列两者之间的类比也是不可忽视的，从概念到公式、性质、计算方法等都可比较，去发现两者间的内部联系。

结束语

老师引导学生感悟联系的观点、运动的观点、系统的观点，甚至审美的观点。通过这些观点的折射，搞活高中数学，有益提高学生数学的综合能力和应用能力，感受数学更强大的生命力，真正感悟到数学的价值与魅力，尽量向数学教育的目的多靠近一些。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系 编，上册，第三版.数学分析[M].北京：高等教育出版社. 2006.5.43、126.

[2] 高志亮、李忠良编著.系统工程方法论.[M].西北工业大学出版社.2004.8.31、164.