环R{D，C}的Armendariz性质

任艳丽，王 尧，周 昊

(1.南京晓庄学院信息工程学院，江苏 南京 211171；2.南京信息工程大学数学与统计学院，江苏 南京 210044)

0 引言

本文所研究的环均指有单位元1的结合环.设D是一个环，C是D的一个子环且1D∈C，令

R[D，C]={d1，…，dn，c，c，…|di∈D，c∈C，n≥1}，

R{D，C}={d1，…，dn，cn+1，cn+2，…|di∈D，cj∈C，n≥1}.

1 带自同态的R{D，C}的性质

证明只需证明结论(1)，结论(2) 类似可证.

充分性.设D是右α-可逆环.由于C是α-不变子环，显然有C也是右α-可逆环.设

(a1，…，an，cn+1，cn+2，…)，(b1，…，bm，em+1，em+2，…)∈R{D，C}，

且

(a1，…，an，cn+1，cn+2，…)(b1，…，bm，em+1，em+2，…)=(0，0，…).

若n≥m，则有

a1b1=0，a2b2=0，…，ambm=0，am+1em+1，anen=0，cn+1en+1=0，cn+2en+2=0，…

由D和C是右α-可逆环知

biα(ai)=0，(i=1，2，…，m)，eiα(ai)=0，(i=m+1，…，n)；eiα(ci)=0，(i≥n+1).

于是有

(b1，…，bm，em+1，em+2，…)(α(a1)，…，α(an)，α(cn+1)，α(cn+2)，…)=(0，0，…)，

即有

证明只需证明结论(1).

f(x)g(x)=0.

又由于

于是有

从而

证明只需证明结论(1).

由

2 环R{D，C}的其他性质

称环R为exchange环[2]，如果对任意的a∈R，存在b，c∈R，使得bab=b，c(1-a)(1-ba)=1-ba.

命题2.1S=R{D，C}是exchange环，当且仅当D和C是exchange环.

证明必要性.首先注意到S=D1⨁C1，D1={(d1，0，0，…)|d1∈D}，C1={(0，d2，…，dn，c，cn+1，cn+2，…)|di∈D，n≥2，c，cj∈C}，显然有D1≅D，即D同构于S的一个直和项，因为exchange环的直和项是exchange环，因此D是exchange环.又由于有S=R{D，C}到C的满同态φ：(d1，…，dn，cn+1，cn+2，…)c，exchange环的商环是exchange环，C同构于S的一个满同态像，于是C同构于S的商环，从而C是exchange环.

称一个环R为强π-正则环，如果任意a∈R都是强π-正则元，即存在相应的b∈R及正整数n，使得an=an+1b且ab=ba.

定义2.1 若对任意的a∈R，都有a或1-a是强π-正则元，则称环R是几乎强π-正则环.如果环R/J(R)是强π-正则环，则称R是feckly强π-正则环.如果R/J(R)是几乎强π-正则环，则称R是feckly几乎强π-正则环.

命题2.2 环S=R[D，C]是feckly几乎强π-正则环的充分必要条件是D是feckly强π-正则环且C/J(D)∩J(C)是几乎强π-正则环.

并且

称环R是Armendariz环，如果对任意f(x)，g(x)∈R[x]，由f(x)g(x)=0可以推出aibj=0，∀0≤i≤n，0≤j≤m.

定义2.2 称环R是feckly Armendariz环，如果R/J(R)是Armendariz环.

证明必要性.即要证明∀i∈I，Ri/J(Ri)是Armendariz环.取

这表明Ri(∀i∈I)是feckly Armendariz环.

命题2.4S=R{D，C}是feckly Armendariz环，当且仅当D是feckly Armendariz环，C/J(D)∩J(C)是Armendariz环.

设I为R的一个非零右理想，若对R的任意非零右理想，都有I∩K≠0，则称I为R的本质右理想.记Zr(R)={x∈R|rR(x)为R的本质右理想}，称一个环R是右非奇异环，如果满足Zr(R)=0.类似文献[4]定理2.3的证明，可以得到：

引理2.1Zr(R{D，C})=R{Zr(D)，Zr(D)∩C}.

命题2.5R{D，C}是右非奇异环，当且仅当D是右非奇异环.

证明由引理2.1，结论是显然的.

设I是环R的一个理想，称R中的幂等元模I可提升，如果a2-a∈I，则存在e2=a∈R使得a-e∈I.

命题2.6S=R{D，C}中幂等元模J(S)可提升的充分必要条件是D中幂等元模J(D)可提升，且C中幂等元模J(D)∩J(C)可提升.

称环R是potent环[13]，若R中的幂等元模J(R)可提升，且R中不包含于J(R)的任意右理想都含有一个非零幂等元.文献[13]引理1证明了上述定义是左右对称的.

命题2.7 若S=R{D，C}是potent环且C的任意真理想是D的理想，则D和C是potent环.

证明由于S=R{D，C}是potent环，于是S中幂等元模J(S)可提升，由命题2.6知D中幂等元模J(D)可提升，且C中幂等元模J(D)∩J(C)可提升.设ID为D的右理想，IDJ(D)，则有R[ID，0]J(S)，R[ID，0]为S的一个右理想.由S是potent环知存在非零幂等元(e1，…，en，0，0，…)∈R[ID，0]，因此必存在某个这推出D是potent环.下证C也是potent环.由于C中幂等元模J(D)∩J(C)可提升，于是C中幂等元模J(C)可提升.设IC是C的真右理想，ICJ(C)，于是ICJ(D)∩J(C).令则由题设知，任意C的真理想都是D的理想，于是为R{D，C}的一个右理想.由于S是potent环，存在中非零幂等元(0，0，…，ei，ei+1，…)，因此必然有某个C中的非零幂等元ej，从而C是potent环.