幂函数的教学设计研究——基于教材比较的视角

◎彭小烜 王良伟 (重庆三峡学院数学与统计学院,重庆 404100)

作为基本初等函数之一，幂函数是高中数学学习中应用较为广泛的一类函数，也是后面探究学习指数函数、对数函数的基础.在幂函数的学习和研究过程中，蕴含着研究一类函数的基本内容.从研究函数的定义到研究函数的表示，再到研究函数的图像与性质，最后到应用函数解决实际问题，即定义、表示——图像与性质——应用的基本思路.[1]下面本文将对幂函数的内容进行新旧教材的对比分析，并以教材为依据，设计幂函数的教学过程.

一、幂函数的新旧教材比较

(一)幂函数在两本教材中的位置不同

2019年人教A版新教材将“幂函数”放在第三章“函数的概念与性质”的第三小节.而2004年人教A版教材将其放在第二章“基本初等函数(Ⅰ)”的第三小节.

(二)幂函数在两本教材中的内容设置不同

两本教材都希望引导学生通过实例归纳总结，概括出幂函数的定义，新教材还特别指出幂的指数除了取整数外，还可以取其他实数，这是旧版本教材所没有的，表明新教材对定义的细节解释得更加完备.

观察图形变化,是处理教学难点的一个关键因素.[2]在探究幂函数的性质时，旧教材直接要求学生在平面直角坐标系中画幂函数的图像，进而探究其定义域、值域、奇偶性、单调性和定点.而新教材先提出问题，启发学生结合以往学习函数的经验，思考如何研究这些函数，这里体现了新教材以学生为本的设计理念，学生在幂函数的探究学习中，回顾了函数的相关内容，为函数的应用和下一章研究指数函数和对数函数奠定了基础.同时，新教材的表格中仅涵盖了定义域、值域、奇偶性和单调性，并提出问题：这些函数图像有公共点吗？提出这样的问题也符合教材前两节的内容设置，即在前面的学习中仅研究了单调性、最大(小)值和奇偶性.关于幂函数图像特有的性质——公共点，可以由学生观察图像自行得出.

两本教材均列举了同一道题目，只是问法不同.新教材在提问时，没有直接给出定义域，需要学生先判断定义域，再在定义域内证明函数的单调性.由此可见，新版教材更侧重于学生解决问题的思维严谨性.

在习题部分，旧教材仅罗列了3道题目.而新教材的课后练习分为两部分，第一部分是关于幂函数概念以及性质的3道基础题，第二部分包含两类题型，习题的难度逐渐递增，由基础到综合，层层递进.新教材编写的初衷是希望学生对所学知识的内涵理解更深刻，学会将所学知识灵活运用到实际生活中.

二、幂函数的教学过程设计

针对上述新旧版本教材中幂函数内容的对比，一线教师更关注的是怎样利用新教材进行教学.“理解数学，明确教学重难点”是幂函数教学设计的首要任务.[3]关于幂函数的教学难点，即通过5个具体的典型函数，使学生能够归纳共性，并用符号语言概括幂函数的概念.幂函数的教学重点是使学生能够画出几个典型的幂函数图像，通过观察图像发现它们的变化规律，并探究得到幂函数的相关性质.以下即为具体的教学过程设计.

1.创设情境，引入新知

教师提出下面5个问题，请学生思考能否用题目中所给变量写出它们之间的函数关系？写出的函数解析式有怎样的共同特征？(见书P89)

生2：若把函数表达式中的自变量都用x表示，因变量都用y表示，可以更容易发现y关于x的函数的共同特征.

设计意图：教师从生活中的实例出发，创设具体情境，让学生从数学的角度出发解决实际问题.在得到函数解析式后，教师在此基础上设疑，这5个函数解析式有怎样共同的特征，希望学生在归纳过程中通过自主探究找到它们的共同点，这其中蕴含了从特殊到一般的数学思想.

2.归纳总结，形成概念

师：通过对这几个函数解析式共同点的归纳，我们发现这几个解析式都具有幂的形式，并且都是以幂的底数为自变量，其中幂的指数都是常数，我们就将这类新的函数称作幂函数，其形式为y=xα，其中x为自变量，α为常数.这里的常数除了取整数之外，还可以取实数.

设计意图：通过学生的探究归纳，教师进行总结，给出幂函数的准确定义.相比于旧教材，新教材还提出了指数位置的常数包括整数和其他实数，在取其他实数时，幂都有着不同的含义.因此，教师要在给出定义后，明确常数取值范围，以保证定义的准确性.

3.探究新知，研究性质

师：结合以往学习函数的经验，你认为应该怎样研究函数？

生3：可以通过观察图像研究幂函数.

生 4：在学习函数奇偶性时，我们不仅观察了图像，还利用函数解析式推导了f(x)与f(-x)之间的关系.

师：两位同学说的都很好，看来你们对前面内容的学习已经融会贯通了.请大家以小组为单位画出这5个函数的图像.注意，画图像的时候不要忘记判断函数的定义域.

师：提示大家，我们都知道画函数图像有三步，列表、描点、连线，但碰到比较陌生的函数时，大家可以先观察函数解析式，根据解析式判断函数的性质，再根据性质画图像，例如奇函数的图像是关于原点对称的.

设计意图：函数教学中“数”与“形”结合的问题是中学数学教学的重点内容之一，[5]在研究幂函数的过程中，教师可以让学生先回顾以往的学习是怎样研究函数的性质的，让学生学会思考、善于思考，而不是像旧教材设计的教学流程一样，直接让他们去填写表格，分析表格，通过对照直接得到幂函数的性质.可以说，编者在新教材中更侧重于培养学生自主学习的能力.

师：(展示图像)如图1.

师：好，大家对比自己画的图像和课件中用Geogebra软件展示的图像是否相同，为了便于观察，教师将它们放到同一个平面直角坐标系内.根据图像，我们能得到这几个幂函数的哪些性质呢？

生5：这些图像都过同一个点.

生6：单调性，奇偶性.

生7：第四象限没有函数图像.

师：非常好，那你们谁能说说为什么第四象限没有函数图像呢？

生8：因为幂函数的表达式是y=xα，当x>0时，α取何值，对应的函数值都大于0，因此，第四象限没有函数图像.

师：很好，看来你已经能够运用函数表达式来解决函数图像的相关问题了，这其中也蕴含了数形结合的思想.

师：我们通过函数图像及表格可以归纳出这些函数的相关性质了.

(1)这5个函数都过定点(1，1)；

(2)函数y=x,y=x3,y=x-1是奇函数，y=x2是偶函数；

(4)在第一象限内，函数y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.

师：通过大家的合作探究，我们已经研究了一些幂函数的性质，那对于其他的幂函数，大家可以仿照类似的方法进行研究.大家要注意，学习幂函数这一节主要是为后面研究其他函数打下基础，掌握研究函数的一般步骤和方法即可.至于一般幂函数的性质，感兴趣的同学可以课下查阅资料，自行探究.

设计意图：关于幂函数性质的探究，教师的主要任务就是引导学生掌握研究函数图像的一般方法.

4.例题讲解，回顾反思

生9：先确定函数的定义域，再在定义域中任取x1,x2，设x1

师：对，请同学们和教师按照这样的证明思路一起完成这道例题.

设计意图：例题部分，教师首先带学生复习增函数的证明方法，并将此方法运用到幂函数的单调性证明中.相比旧教材，新教材的设计更合理，帮助学生综合运用相关知识.

5.分层作业，巩固新知

师：今天的作业是完成教材课后练习题以及习题3.3中复习巩固的第1，3题.同时同学们要以小组的形式解决综合运用的一道实际问题.

设计意图：相比旧教材，新教材将课后练习设置得更详细，对知识点的考查更具针对性，难度层层递进.

6.拓展延伸，活跃思维

师：我们学习过幂函数y=x,y=x-1，请同学们阅读教材92页的“探究与发现”，尝试探究一个新的函数y=x+x-1具有哪些性质？

三、总 结

本文通过对比新旧教材“幂函数”一节，对其内容上的增减和创新之处、所处位置的变化等进行了详细的阐述，并根据新教材进行了幂函数的教学设计.在幂函数的教学过程中，教师应把握好幂函数的重难点，在归纳幂函数的定义时，教师要注重启发引导.同时，在探究幂函数的性质时，教师要有意识地引导学生画出函数图像，根据所画图像探究相关性质.同时，关注学生知识理解与迁移程度是一个切实可行的抓手[6].因此，教师在以后的教学中要向学生逐步渗透探究数学的方法和思想，培养学生自主探究的意识.