“心有灵犀一点通”——浅析高中数学解题中常用的四大数学思想

◎于 祥 (扬州大学附属中学，江苏 扬州 225000)

笔者认为，高中数学中很多解题思想和方法只要稍稍变形，就能和常用的四大数学思想产生密切联系.在实际教学过程中，数学教师需要结合四大数学思想的定义、特点和作用，把数学解题思想和方法变形成为符合数学思想的相关内容，从而优化教学内容，降低教学难度.下面，笔者将以分类讨论、数形结合、函数与方程以及化归与转化数学思想方法为例进行分析，文中涉及的教学实例请参照人教版高中数学教材.

一、四大数学思想对高中数学解题教学的作用

(一)降低学生的解题难度

对于高中生来说，有一些数学习题并不是自己努力想、努力做就能够做出来的，只有依靠数学思想才能解决，所以四大数学思想的应用实则是大幅度降低了学生的解题难度，使之在解题过程中能保证大致的思路是正确的，不会出现一些根本性的错误.

(二)提高学生的解题能力

高中数学练习题不同于初中，难度非常大，而且有特定的解题思路和方法，四大数学思想是基于高中数学题目所总结出来的解题利器，如果学生能充分理解并应用好这些数学思想，在解题时就能得心应手，久而久之就能大幅度提升自己的解题能力.

二、高中数学解题教学中四大数学思想的应用基础

(一)转变教学要求

新课改要求学生要实现逻辑思维、逻辑分析能力上的有效突破，故现代高中数学教育除了要让学生学习硬知识外，还需要学习探究数学问题、总结数学规律的方法，而后者将比前者更加重要.所谓“一通百通”，解题方法和规律总结能力的提升将使学生从容面对不同类型的问题，继而有效提高学习成绩和应试水平.因此，为实现高中数学教育“要成绩”“要能力”的双重目标，教师在应用四大数学思想之前必须要主动转变教学要求，将数学思想的学习摆在首位，不要只注重学生的解题结果，而是注重其解题思路和方法.

(二)把“要我学”转变为“我要学”

所谓“要我学”其实是一种“被动学”，学生只能根据教师设定的教学计划去理解、分析、探究知识，知其然而不知其所以然，虽然能在短时间内积累大量知识，但其思维能力却没有任何长进和突破.反观“我要学”则完全不同，它是一种“主动学”，学生根据教师设定的学习目标自主选择学习内容，根据自身的学习水平把握学习进度，同时还能够和他人交流以获得新知识和经验，虽然在短时间内无法积累大量知识，但却容易形成良好的学习思维和习惯，学习心态也会发生积极转变.

三、高中数学解题教学中四大数学思想的实践应用

(一)分类讨论思想

1.何为分类讨论思想

分类讨论思想简而言之就是先分类再讨论，这种方式可帮助学生理清思路，降低分析难度.以集合为例，按照集体元素的个数可分为有限集、无限集、空集三种，而按照集合之间的关系可分为子集、交并集、补集.利用分类讨论思想，学生就能更加全面地认识集合的特性.

2.分类讨论的一般步骤

研究对象指的是问题的核心，需要讨论研究的主体是什么，可不可以细分，每一部分有何特点等等.先将研究主体进行分类，然后集中讨论每一类中的问题.在实际教学中，教师可以引导学生按照先分类再讨论的方式进行分析，从易到难逐层深入，就能让学生掌握分类讨论的核心.

3.分类讨论的实际案例

在教学“随机事件的概率”时，有这样一道题：“一个袋子中有标号为1，2，3的三个大小相同的球，随机抽取三次，按抽取顺序组成123的概率是多少？”在计算概率的过程中，教师引导学生先分类后讨论.根据题目要求，实则是求1，2，3三个数组合成不同数的个数，其中三个数的组合就是整体研究对象，那么就可以分为个位、十位、百位三个研究部分.分类进行讨论就是对每一个研究部分进行分析，比如百位数是1，那么十位数和个位数就不能是1，而2，3两个数谁占十位、谁占个位则需要继续细分讨论.归纳整体结果就是在分类讨论的基础上把结果汇总出来，得出正确的答案.

(二)数形结合思想

1.何为数形结合思想

“数形结合”作为新时代数学教学的创新方式，分为“数”和“形”两部分，通过数形结合分析问题，可以将一些抽象性的、枯燥的数学文字转化为生动、直观的图形，最大限度地降低了学生学习数学的难度，也极大地提高了学生对数学的理解能力.数形结合思想的核心是“以形化数，以数代形”，数学中“数”和“形”本就是密不可分的关系，数学中的图表、图形等都可以看成“形”，而公式、定理等都可以看成“数”，以计算空间几何体的表面积和体积为例，空间几何体就是“形”，而空间几何体的表面积和体积则为数，数形结合，能让学生更加直观地想象空间几何体的长、宽、高等属性，也能通过公式更容易解得空间几何体的表面积和体积.

2.数形结合的两种方式

“以数助形”即以数代形，比如计算正方形的面积，我们用眼是看不出面积的，必须要借助公式进行计算.“以形助数”即以形代数，就是以图形直观展示抽象的数学逻辑关系.在高中阶段，最典型的就是用数轴、平面直角坐标系表示某个函数方程.

3.数形结合的实际案例

在学习“一元二次不等式(组)”时，教师为学生设置以下问题：“一元二次不等式(x-3)(x+1)<0是否有解？如果有，这个不等式有多少个正整数解？”从题目难度上分析，题目相对较简单，但是这里主要考查学生对“不等式解集的数轴表示”的理解，经过计算得到结果为-1

(三)函数与方程思想

1.何为函数与方程思想

函数与方程思想作为四大数学思想中最重要也是最普遍的一类教学思想，几乎在每堂课中都能够用到.函数与方程思想是简化数学算法、反映数理逻辑的最好方式，因为在高中数学解题教学中的应用最为广泛，所以几乎能和所有的高中数学知识相结合.数学题目中有着非常多的未知数求解题，结果即为未知数x，通过未知数x构造合乎逻辑的数学方程，进而通过数学运算推导，这就是函数与方程思想的内核，所以以函数与方程思想求解未知数是数学教师常用的方法.

2.函数与方程思想的应用范围

函数与方程思想主要是让学生形成以“未知推导已知，已知求解未知”的数学解题思维，所以凡是涉及数理计算、函数求解等题型时都可以用到函数与方程思想.纵观高中数学知识，函数与方程思想最常用在三角函数、二次函数、幂函数的求解中，教师引导学生根据题目设未知数x,y,z，然后根据已知条件将未知数代入，以形成完整的求解方程.例如在解答三角形题目时，要计算出某个三角形的三边关系，则要设三边为x,y,z，将之带入sin，cos和tan三类三角函数中，就能通过已知条件(例如三角函数值和三角形的一条边)推导求得x,y,z，进而计算三边关系.

3.函数与方程思想的实际案例

(四)化归与转化思想——化繁为简，化难为易

1.何为化归与转化思想

化归与转化思想直白地说就是在解决数学问题时，如果很难直接求解的话，就需要把这个问题转化成已知问题进行求解.化归与转化思想说明了数学知识万变不离其宗，透过现象看本质，就能将未知问题转化成已知问题进行求解.因此在数学教学中，化归与转化思想常被用来分析和简化复杂的问题.例如学完了一元一次方程、因式分解等知识后，在学习一元二次方程的时候我们其实就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的.再到高中特殊的一元高次方程求解时，又是将其化归为一元一次和一元二次方程来求解，更加直白地说，就是由1+1=2，我们可以推出1+2=3，通过化归与转化思想可将其转化为1+1+1=3这种最直接、最简单、最好理解的方式.

2.化归与转化思想的实际案例

在解答复杂的函数问题时，我们可以通过化归与转化思想由已知函数推导出新的函数方程，之后对新的函数方程进行分析解答，就能快速地得出答案.比如在解答题目：“f(x)=ax2+ax+a-1，当f(x)<0的解集为R时，求a的取值范围.”这个题目的解答过程需要用到化归与转化思想，然后基于函数图像的基本性质确定a的取值范围.具体解答过程如下：

解：当a=0时，函数f(x)=-1<0，此时符合题意，即对x属于R恒成立，故此时f(x)<0的解集为R.而当a≠0时，由f(x)<0的解集为R恒成立，可推导a<0且Δ<0，即a<0且a2-4a(a-1)<0，即a<0且-3a2+4a<0，即a<0且3a2-4a>0，解得a<0.综上，知a的范围是a≤0.

在这个题目中，我们将复杂的函数问题转化成简单的“a<0且Δ<0”问题，直接列出不等式进行求解，这样就通过消元方式排除了“x”的干扰，以此求解a的取值范围就变得非常容易.

结束语

数学中的分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想以及化归与转化思想都能让高中数学解题教学变得更有效率.只要教师能设计科学的应用策略和方法，把握好数学思想与数学知识的融合点，就能发挥其教学作用，成为提升课堂教学效率和教学质量的好帮手.综上，高中数学和初中、小学数学完全不同，高中数学讲究培养学生的数学思维，而非简单的理解公式、定理定义.故应用四大数学思想可在很大程度上优化学生的数学思维，在面对问题时懂得化繁为简、逐层深入，既能够面面俱到地解决问题，又能够节省时间和精力，应试教育背景下，高中生应当以提高学习成绩为重，数学思想可帮助学生快速掌握解题方法和技巧，也是一种非常重要的学习工具，值得推广学习.当然，上述分析只是笔者的浅见，不足之处还请各位读者朋友批评指正.