构建多元表征 深挖笔算算理——《笔算小数加法和减法》教学设计与说明

文|陆涛

【教学内容】

苏教版五年级上册第48、49 页例1、“试一试”“练一练”。

【教学过程】

一、创设情境，初步发现

1.问题情境。

谈话：（出示文具店情境图）老师想去文具店买点文具。看图，根据你看到的数学信息，来提一个数学问题。

（学生自由提问，组织全班交流）

提炼问题：（1）一本笔记本和一个讲义夹一共多少元？（2）一本笔记本比一支水彩笔贵多少元？

揭题：今天这节课，我们一起来进一步研究小数的加减法。（板书：小数的加法和减法）

2.初步发现。

（学生独立列竖式计算，全班交流）

预设学生计算方法：

提问：观察两种笔算过程，你认为哪种做法肯定是错的？

明确：通过估计，第二种是对的，第一种的结果肯定是错的，先估后算能快速检验计算是否正确。

追问：进一步观察，左边的笔算方法有什么问题？

明确：小数加法笔算时，竖式要小数点对齐，这样相同数位对齐了，就可以计算了。（板书：相同数位对齐）

追问：为什么要把相同的数位对齐才能相加，其中的道理是什么？

引导：同学们都有感觉，但好像说不清，我们能不能结合具体的例子来讲，可能更容易表达。

【说明：问题情境又叫问题表征，是人在头脑中对问题信息进行记载、理解和表达的方式，创设合理的问题情境能激发学生的探究欲望。本环节从买文具的情境出发，引导学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，从直觉思维出发，自主尝试，对比发现，初步感知小数加法的笔算方法，通过“为什么要把相同的数位对齐才能相加”的追问，引导学生进行更深入的思考，在交流和解释的过程中，产生对小数加法算理的探索欲望。】

二、动手操作，发现算理

1.操作表征。

谈话：老师给你们准备了三种学具，选择一种学具，和一个同伴一起研究，组内交流你的发现。

（课件出示学具：人民币、格子图、计数器，如下图）

预设学生的情况如下：

2.对比发现。

提问：三种工具的计算过程有什么相同的地方？

明确：人民币、格子图、计数器都是把相同的单位对齐加起来。所以相同的数位对齐，其实是为了把相同的计数单位对齐再相加。

小结：刚刚我们说不出来道理，但是通过操作，同学们都能表达一点想法，看来刚刚的操作是有价值的。

【说明：数学操作不仅是“动手做”，还包括“动脑想”“动嘴说”等活动，是一种具象认知。构建操作表征能让经验和思维连接，能让知识和思维融合。为此笔者精心设计了三个操作过程，通过“人民币”“格子图”“计数器”的操作过程，经历独立思考、小组交流、全班交流的过程，在多重对比和交流中，发现“相同的数位对齐是为了相同的计数单位对齐”的笔算本质，在让学生经历为探索算理和算法的关系做铺垫。】

三、交流讨论，规范方法

1.讨论想象。

引导：在加法竖式中怎么保证相同的计数单位对齐呢？

想象：屏幕出现一个加数，想象另一个加数的位置，并用不同的色块表示不同的数位。（如下图）

明确：小数点对齐，相同的数位就对齐了，相同的计数单位对齐就能相加了。

（屏幕演示笔算过程）

（学生独立笔算3.4+6.28、4.33+2.98。屏幕校对笔算过程）

2.发现算法。

出示三道题的笔算过程：

提问：观察三题的笔算过程，说说小数加法怎么计算？

明确：笔算小数加法时，先将小数点对齐，从低位算起，满十进一，最后点上小数点。（板书：小数点对齐，低位算起，满十进一，点上小数点）

3.对比迁移。

追问：观察小数加法的笔算方法，想想小数减法的笔算方法是怎么样的？

（学生独立尝试计算4.75-3.4，并介绍计算过程）

出示4.75+3.4 和4.74-3.4 的笔算过程：

提问：对比两题的笔算过程，如何笔算小数减法？

明确：小数减法的笔算方法和小数加法的笔算方法相同，也是将小数点对齐，从低位算起，退一当十，点上小数点。（板书：退一当十）

【说明：语言表征是人的记忆系统的存储形式，主要体现在口头表达、书面表达中，从操作表征向语言表征转化是数学抽象的必经过程。本环节，笔者将操作过程向竖式计算转化，引导学生经历推理交流、独立练习的过程，理解“小数点对齐”是为了把相同的计数单位对齐，通过对比理解小数加法笔算方法和算理的一致性，抽象并精致笔算方法，通过4.75+3.4 和4.75-3.4 笔算过程的对比，将小数加法的笔算方法迁移到了小数减法的笔算方法中。】

四、整体构建，发现联系

1.前后联系。

（出示整数的笔算方法）

提问：小数加减法和整数加减法有什么不同的地方？

（学生可能会发现形式上的不同，但本质是相同的）

昨晚妻子已向他提及这家新开的影楼。天下所有妻子都如她一般多疑吗？还是他过于敏感？妻子问他，那家高美影楼的老板娘，你认识吧？

明确：小数加减法和整数加减法的笔算方法是相同的，都是相同数位对齐，低位算起，满十进一（退一当十）。

2.古今联系。

谈话：其实1700年前，刘徽也经历了我们的研究过程，他是用算筹摆的，看得懂吗？

课件出示算筹的计算过程：

明确：算筹也是把相同的计数单位对齐了计算的。

小结：看来我们的研究和数学家不谋而合，是有价值的。

【说明：借助多元表征能帮助学生深入数学的本质，建立数学的知识结构，数学思维的核心特点是要加强横向和纵向的联系，本环节，笔者从笔算加减法的算法出发，不仅沟通整数加减法和小数加减法的横向比较，理解加减笔算的本质，还进行了算筹计算和数的计算的纵向对比，突出数学计算的一般规律。】

五、游戏闯关，练习巩固

1.想一想。

课件出示9.3+6.98，24+9.9 的横式，想竖式怎么对齐。

明确：整数加小数时，要注意小数点在个位的后面，省略了。

过渡：闯过想象关，下面进入笔算关。

2.算一算。

7.56－4.564.75+2.65

7.38+2.62

（学生独立笔算，展示学生的计算过程）

追问：计算小数加减法时要注意什么？

明确：计算小数加减法时，结果中小数末尾的0 要化简；进位不要忘；整数部分的0 不能省略。

3.添一添。

谈话：同学们轻松地闯过了笔算关，下面进入估算关，添运算符号和小数点，使竖式成立。

过渡：如果给你横式，你能添加小数点，使算式符合要求吗？

黑板贴出算式74+213，课件出示如下要求：

（1）使结果是20 多；

（2）使结果是70 多；

（3）使结果是90 多。

出示添了小数点后的三个算式：

追问：观察这三个算式，有什么相同点和不同点？

明确：小数点的位置改变，小数的大小也改变了。

小结：小数点位置不同就会直接影响计算的结果，我们在计算中可不能忽视小数点。

【说明：PISA 2021 数学测评框架强调要重视数学推理和数学建模的考查，多元表征是数学建模和推理的载体。本环节，笔者从引导学生在现实情境中主动解决问题出发，创造性地挖掘教材，通过智力闯关的游戏情境，设计了“想一想”“算一算”“添一添”三个不同层次的练习，由浅入深，不仅巩固了算法，明确了注意点，而且进一步为培养数学的推理能力打下扎实的基础。】

六、全课总结，提升认识

1.谈收获。

谈话：这节课有什么收获？

2.促提升。

引导：你们关注到了所学的知识和方法，但更重要的是我们一起经历了发现学习的过程。

全课总结：小数加减法并不难，这节课我们通过经历发现问题、提出问题、研究问题、解决问题的过程，去发现算法背后的本质，发现前后知识之间的联系，刨根问底，只有掌握数学学习的方法，才能真正地学会学习。