数学史融入“椭圆及其标准方程”的教学实践研究

汪霞

摘要：椭圆是高中数学当中出现的第一个圆锥曲线，对于学生有着非同一般的意义。通过发生教学法，根据历史的相似性，重构椭圆定义的形成，融入数学史的教学方法通过实践证明对于学生学习椭圆有着积极的作用。

关键词：数学史;椭圆;旦德林双球

中图分类号：A 文献标识码：A 文章編号：（2021）-43-485

一、椭圆概念的历史

椭圆的最初来源是古希腊人们从削尖的圆柱木头中得到的截痕中发现的，而关于圆锥曲线的起源问题，古希腊人也许也很模糊，但可以肯定的是一定与倍立方问题有关系的。公元前5世界，古希腊的数学家希波克拉底将倍立方问题转化为求二次比的问题，对一个棱长为a的立方体，在a与2a之间确定二个数x，y，使得关系式满足：ax=xy=y2a，即x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，前二个是抛物线方程，后一个是双曲线方程，而这里还没有椭圆方程。之后，古希腊数学家亚里士塔欧分别将其称为锐角圆锥曲线、直角圆锥曲线以及钝角圆锥曲线，分别就是今天的椭圆、双曲线以及抛物线。借助平面几何的方法，梅奈克缪斯发现了一些圆锥曲线的基本性质。公元4世纪，古希腊亚历山大时代的最后一个伟大的几何学家怕普斯证明了欧几里得的一个引理：平面上定点和定直线的距离之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线，常数小于1，等于1，大于1，分别就是椭圆、抛物线和双曲线。这就是第二定义的出现。

二、数学史融入的教学设计

（一）椭圆是什么？

师：解析几何内容在必修二出现了圆和直线，这二块内容在初中我们也学习过，但今天要学习的椭圆是之前我们没有接触过的内容，大家对椭圆是如何理解的呢？

生：椭圆是扁的，压扁的圆！

师：可以那么理解，但这应该不是椭圆的规范定义。那大家想一想生活的椭圆，你见到过的在哪里？

学生们七嘴八舌讨论自己的想法......

师：这是有给大家展示一下这几张图片，大家来看一看，其中是否是椭圆的图形呢？

大家讨论回答之后，进行对椭圆的探究。

师：这些都是椭圆的图形，那么椭圆的定义是什么？我们在学习圆的定义的时候给圆的定义是“平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合”，那么椭圆是否也有类似的定义的呢？

（二）椭圆的历史

通过微视频给学生展示椭圆的圆锥截线定义。

（三）椭圆性质的探究

数学家阿波罗尼斯曾经通过自己的不懈努力证明了一个椭圆的性质，就是从椭圆上任意一点向一条对称轴作垂线，这个点到垂足的距离的平方之比与垂足到对称轴二个端点的距离之积是一个定值。这个性质阐述较为啰嗦，所以这个性质并没有称为我们对椭圆的定义。直到1822年比利时的数学家旦德林利用双球实验最终清晰阐述了椭圆的性质也成为了椭圆的第一定义，今天我就来看旦德林这位伟大的数学家是如何做的双球实验。

下面大家来看我的实验，一个透明的玻璃圆柱，我先将一个球（球的直径等于圆柱玻璃的内径6厘米）放入圆柱内，那么球和圆柱自然相切，切点的轨迹是一个圆周即圆柱的内径圆，接着我将刚刚通过椭圆规画出来的椭圆纸片放入玻璃圆柱使得这个椭圆纸片与球相切，同时椭圆周与圆柱内壁正好吻合，接着再放入一个和刚才完全相同的球，也与椭圆纸片是相切的，同时也与玻璃圆柱相切于圆柱内径一周。

分别记椭圆纸片与球相切的切点为F1、F2，而二个球分别与玻璃圆柱内径相切于一个圆周，在二个圆周上分别取二个点A、B，使得AB连线与圆柱的母线平行，那么AB的长度就是一个定值，即二个球球心之间的距离。接着在AB上又取一个点P，那么PA是第一个球的一条切线，PB是第二个球的切线，同时PF1也是第一个球的一条切线，PF2也是第二个球的切线，根据切线长相等，可以得到PA=PF1，PB=PF2，而PA+PB=AB是一个定长，那么PF1+PF2也是一个定长。这就是今天我们对椭圆的第一定义，F1和F2是球与椭圆纸片的二个切点，所以是二个定点，而点P是椭圆圆周上点，满足PF1+PF2之和是一个定值。所以大家可以根据圆的定义推导一下椭圆的定义么？

生：平面上到二个定点的距离之和是一个定值的点的轨迹。

师：这个定义大家再仔细想一想，我们刚才用的椭圆纸片得到的是椭圆的性质，也就是椭圆可以满足平面上到二个定点的距离之和是一个定值，但是不是平面上到二个定点的距离之和是一个定值的点的轨迹就是椭圆呢？

生：......好像有点问题

师：是的。平面上到二个定点的距离之和是一个定值的点的轨迹不一定是一个椭圆，我们可以举一个反例。比如这个定点之间的距离只有2，而这个定值是1，那么这个轨迹就没有了......那么我们重新更正定义。

生：平面上到二个定点的距离之和是一个定值（定值>二定点之间的距离）的点的轨迹。

师：对！这样定义就完整了。其实舒鹏的椭圆规也是利用了这个性质，有兴趣的同学可以上来感受一下画一画椭圆。

（四）、椭圆的标准方程

根据刚才同学上来画的椭圆，有了椭圆的图形及画法，那么我们还需要继续研究椭圆曲线，根据课前测大家都回答“研究任意曲线图形方程的步骤”，是“建系-设点-列关系式-化简-检验”，我们首先来建系。这个椭圆的第一标准方程是建系以焦点所在的直线为x轴，这是根据椭圆的对称性得到的，也可以根据椭圆的另外一条对称轴为x轴建系，那么得到的就是另外一个椭圆的标准方程x2b2+y2a2=1。

而刚才同学画的椭圆有大有小，有的x轴上交点一样，有的焦点是一样的，但是椭圆得到的大小却不一样，但又有一些类似相关性，这将是我们下节课所要去学习的内容。

（五）、课堂小结

请大家回顾并口述今天内容，且最后的探究内容是求椭圆标准方程的方法课上是利用了二次完全平方去根号得到的，是否还有其它方法呢？请大家回去查阅资料，搜索洛必达法。

本堂课通过渗透椭圆的数学史，使得椭圆的定义变得更为生动有意义，在课后测的反馈中也可以发现学生们对于这样的方式是乐于接受的，也更加能理解椭圆的来源以及椭圆方程的推导。

参考文献

[1]陈锋.基于旦德林双球模型的椭圆定义教学[J].上海：数学教学，2012.4

[2]王亚运.HPME视角下的椭圆教学设计与研究[D].武汉：华中师范大学硕士学位论文 ，2017.5

请标注课题项目：江西省教育科学“十三五”规划2020年度课题“高中数学教学中渗透数学史的实践研究”

课题编号：20PTYB179