四类排列组合问题及其解法

陈忆新

排列组合问题在各类考试中常以选择题和填空题的形式出现.此类型问题的题型多变，解法一般较为灵活，因而很多同学在解答此类问题时往往难以得到正确的答案.笔者总结了以下四类常见的排列组合问题，并深入探讨了其解法，以期能为同学们的解题提供一些帮助.

一、相邻问题

有些题目要求几个元素相邻，此类问题称为相邻问题.在解答这类问题时，我们可以将这几个要求相邻的元素捆绑起来看作一个整体，当成一个“大元素”进行排列.在排顺序时，可先排“大元素”外部元素的顺序，然后再排“大元素”内部元素的顺序，最后運用分步计数原理求出最后的结果即可.

例1.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）.

A.16 B.18 C.24 D.32

题目只要求剩余的4个车位连在一起，对剩余的4个车位的排列顺序没有要求，所以我们只需将剩余的4个车位捆绑在一起，与其他元素一起排列即可.

二、不相邻问题

所谓不相邻问题，就是要求几个元素不能排在一起的问题，我们可以运用插空法来解题，首先将没有要求的元素先安排好，再将要求不相邻的元素插入已排好的元素的空隙中和首尾两端，最后运用分步计数原理求解即可.

例2.某学校为了庆祝元旦，安排了2个朗诵节目、3个小品、3个歌唱类节目，要求歌唱类节目不排在最前面，并且任何2个歌唱节目不排在一起，那么有几种不同的排法？

解答不相邻问题的关键是区分有相邻要求和没有相邻要求的元素，并找出没有相邻要求的元素之间的空隙的个数.

三、分排问题

所谓分排问题是指要求将元素分成几排进行排列的问题.解答此类问题，我们一般用直排法.若把 n 个元素分成 m 排进行排列，可以将前一排的最后一个元素和后一排的第一个元素连接起来，当作所有元素排成一排或者一列的问题来处理，有种排法.

例3.小红一家8口人，其中4位男性、4位女性.应摄影师要求站成两排拍全家福，每排 4 人，并且2位个子矮的女性站在前排，另外2位女性站在后排，请问一共有多少种排法？

解析：可先让小红家的8口人站成一列，然后优先安排特殊元素：4 位女性.在前排的四个位置中安排 2位个子矮的女性，有种排法，再将另外2位女性安排在后排的四个位置中，有种排法.剩下的4位男性有种排法.根据分步计数原理可得一共有种排法.

在解答分排问题时，若遇到有特殊要求的元素，需优先处理这些元素，然后将所有的元素看成排成一排或一列来进行排列，最后依据分步计数原理将所有排法数相乘就可得到正确的答案.

四、定序问题

所谓定序问题就是指要求某些元素要保持固定的顺序进行排列的问题.对于此类问题，我们可以使用消序法来解答，即根据题目的不同要求，先将所有元素进行全排列，然后求有固定顺序的排列情况的数目，就可得到我们所需的答案.

例 4.小马、小红、小于、小杨、小李 5 个人站成一列，要求小红必须站在小马的后面，请问有多少种不同的排法？

解析：小红站在小马的后面和小红站在小马的前面的排列数目相等，因此可先将5人进行全排列，有种排法，但符合题意的排法只有一半，即有种排法.综上所述，小红必须站在小马的后面的排法一共有 60 种.

排列组合问题中的元素较多，且要求各不相同，对同学们的逻辑思维能力要求较高，但是解答此类问题也是有法可循的.在解题时，我们只要先分析题目中对元素的要求，如相邻、不相邻、分排、定序等，然后选择与之相应的方法，如捆绑法、插空法、直排法、消序法，就能顺利解题.

（作者单位：福建省泉州第十七中学）