例析数学思想在解答不等式问题中的应用

候秀丽

不等式问题的形式多种多样，如解不等式、求参数的取值范围、比较两式的大小、证明不等式恒成立等.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和逻辑推理能力.而灵活运用数学思想，能有效帮助我们快速求得问题的答案.本文重点探讨了函数思想、数形结合思想、分类讨论思想在解答不等式问题中的应用.

一、灵活运用函数思想

函数思想是指运用函数的图象和性质解题的思想.在解答不等式问题时，我们可以将不等式进行合理变形，构造出合适的函数模型，然后借助函数的图象来分析函数的单调性、对称性、周期性、最值等，建立新关系式，从而证明不等式成立或者求得不等式的解.

例 1.

解：

我们首先根据函数单调性的定义，判断出函数 f（x）的单调性，求得函数的最值，根据不等式恒成立建立关于参数 a 的不等式，解不等式即可求得 a 的取值范圍.

二、灵活运用数形结合思想

数形结合思想是解答函数、不等式问题的重要方法.在解题时，我们需先画出相应的图形，通过分析图形找出使不等式恒成立的极端情形，建立新关系式，便可求得不等式的解集或者参数的取值范围.

例2.已知函数，则实数c 的取值范围是____.

解：

由图象可知当f（x）的值域为

解答本题，我们只需根据已知的函数解析式画出对应的函数图象，然后结合图象明确函数取得最值的情形，求出函数取最值时对应的 x 的值，即可求得 c 的取值范围.

三、灵活运用分类讨论思想

分类讨论思想是指把所有研究的问题分成若干类，转化成若干个小问题来求解的思想.在解答不等式问题时，我们需要根据题目的特点和要求，把问题进行分类，可按照参数的取值来进行分类，也可按照问题的不同情况进行分类，还可按照不等式成立的条件来分类，等等.在分类后，对各种情况逐一进行研究、讨论，最后综合所得的结果即可.

例3.解不等式

解：将不等式变形可得

在本题中，a 为参数，而不等式的解受 a 影响，所以需对a进行分类讨论，可分为a >1、0

不等式问题是一类综合性较强的问题，在解题时我们不仅要熟练运用相关的不等式知识类求解，还要学会灵活运用数学思想来辅助解题，这样才能使解题变得更加高效.

（作者单位：山东省青岛市即墨区第二中学）