正确理解概念 轻松避免错误

文／王怡蕴

了解数据的集中趋势和离散程度，可以帮助我们从不同的角度认识数据，掌握处理数据的方法，并做出合理的推断和预测。同学们只有明确概念、理解各数意义，才能轻松地避免错误。

例1 一次数学考试中，九年级（1）班和（2）班的学生人数分别为52、48，平均成绩分别为85 分、80 分，则这两个班的平均成绩为 。

【错因剖析】平均数是刻画数据集中趋势时一个常用的统计量，在日常生活中应用较为广泛。同学们比较熟悉的是算术平均数。而平均数的大小不仅受一组数据中各个数值大小的影响，而且与各个数值在一组数据中的“重要程度”有关，也就是与“权”有关。

例2 在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示。这些成绩的中位数是 。

【错解】97。

【错因剖析】将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫作这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫作这组数据的中位数。错解中未将所有数据按大小顺序排列，只算了100、98、96、94 这四个数的中位数。

【正解】共有25个数，最中间的数为第13 个数，是96，所以这组数据的中位数为96分。

例3 若数据8，9，7，8，x，3 的平均数是7，则这组数据的众数是________。

【错解】8。

【错因剖析】一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数。特别注意，众数可能不止一个。错解未根据概念先算出x，只根据表面数据就判断众数。

【正解】由平均数为7，得8+9+7+8+x+3=7×6，

解得x=7。

∵这组数据中7和8出现次数最多，

∴这组数据的众数为7和8。

例4 若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为5，则另一组数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，…，2xn+3的方差为________。

【错解】2×5+3=13。

【错因剖析】当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘一个数（或除以一个不为0 的数）时，平均数也乘或除以这个数，方差变为这个数的平方倍。

【正解】∵x1，x2，…，xn的方差是5，

∴数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差是4×5=20，

∴数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，…，2xn+3的方差是20。