巧选列举法 准确求概率

文／施长燕

遇到概率问题怎么解决？那就需要我们先看单位事件是否等概率发生，如果是，再接着看事件是有限个，还是无限个，若是有限个就按照古典概型解决，若是无限个就按照几何概型解决。下面老师将结合中考题分析如何选用合适的列举法求解概率问题。

一、古典概型——简单概率用直接列举法

当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。

变式 （2020·浙江绍兴）如图1，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从E出口落出的概率是（ ）。

图1

【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”，可知小球到B、C、D处时向左还是向右都是等可能的，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能的，然后根据概率的意义列式即可得解。

解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，

二、古典概型——用列表法或画树状图法求概率

当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，通常采用列表法；当一次试验涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法。

例2 （2021·吉林）第一个盒中有1个白球、1 个黑球，第二个盒中有1 个白球、2 个黑球。这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2 个球都是白球的概率。

【分析】用列表法表示出所有等可能出现的结果，进而得出两次都是白球的概率。

解：用列表法表示所有等可能出现的结果如下：

第1盒结果白黑第2盒白___________________黑1___________________黑2（白，白）（白，黑1）（白，黑2）（白，黑）（黑，黑1）（黑，黑2）

共有6 种等可能出现的结果，其中两球都是白球的结果有1种，

变式 （2019·江苏连云港）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1 个，B盒中装有红球、黄球各1 个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外其他都相同。现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球。

（1）从A盒中摸出红球的概率为____；

（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率。

【分析】（1）从A盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；

（2）画树状图展示所有等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10 种，由概率公式即可得出结果。

（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，

三、几何概型——用面积比求概率

解这类题除了要掌握概率的计算方法，还应熟练掌握几何图形的面积计算。

例3 （2021·湖北随州）如图2，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）。

图2

【分析】求出阴影部分的面积与大正方形的面积的比值即可判断。

变式 （2019·辽宁本溪）如图3 所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 。

图3

【分析】首先建立如图4的平面直角坐标系，标记字母如图所示，设相邻两点的距离为1 个单位长度，可求出直线OE的表达式，以及点M和点N的坐标，从而求出AM和AN的长度，然后根据面积计算公式求出阴影部分的面积，最后求出答案。

图4