Gevrey势能的离散拟周期 Schrödinger算子的非扰动Anderson局域化

郭文飞, 陶 凯

(河海大学 理学院, 南京 210098)

1 引言与主要结果

算子谱的局域化问题是数学物理领域的热点问题, 目前已有很多研究成果[1-6]. 文献[1]考虑如下离散Schrödinger算子:

(Hx,v,ωφ)=φ(n+1)+φ(n-1)+v(x+nω),n∈,

证明了对固定的势能v, 如果对所有的Diophantine频率, 即当ω满足

(1)

本文考虑如下离散Schrödinger算子:

(3)

(4)

下面给出本文的主要结果:

2 预备知识

首先, 给出Lyapunov指数的定义[7]. 特征方程Sx,λf+g,ωφ=Eφ可表示为

这里

称为算子(2)的转移矩阵. 定义

(5)

则由次可加性及Kingman’s次可加遍历定理知, 极限

(6)

存在. 式(6)即为Schrödinger算子的Lyapunov指数.

其中{P1,P2,…,Pk}是d个变量的多项式集合,

Lj∈{1,2,…,k},kjl∈{>,<,=}.

(7)

同理, 对于任意正整数n, 考虑Gevrey函数g的截断函数

(8)

显然对任意n, 有

(9)

(10)

结合式(10)可得

(11)

引理6[7]令I⊂是一个大小为N的区间, 且{Iα}是大小为M≪N的子区间. 假设:

1) 如果k∈I, 则存在α, 使得

[k-M/4,k+M/4]∩I⊂Iα;

(15)

|GI(m1,m2)|

(16)

(17)

3 定理1的证明

下面分5步给出Anderson局域化的证明.

1) 介绍格林函数并对其计算. 定义

这里R[1,N]是坐标约束矩阵, [1,N]∈. 根据Cramer’s法则知, 存在1≤m1≤m2≤N, 使得

式(18)来自下列MN与行列式的关系:

(19)

此时考虑的格林函数为

则由式(16)可得,

由引理9可知, 存在一个测度小于exp{-cN1/(6A)}的集合

(20)

令

mes(B2(E,ω))≤mes(B(E,ω,N1/(6A)))≤exp{-cN1/(6A)}.

(21)

所以有

(23)

(24)

又f,gn是关于x的最多n8s次多项式, 所以式(24)可记为

P(x,E,ω)≤o(e-N),

(25)

(26)

这里Λ是[1,N],[1,N-1],[2,N],[2,N-1]中之一. 为方便, 本文重新定义Λ是下列间隔之一：

Λ=[-N,N],[-N,N-1],[-N+1,N],[-N+1,N-1].

(27)

特别地, 取n=j, 由式(27)有|j-a|>N/2, |j-b|>N/2, 因此

(29)

令I=[-j0+1,j0-1], 且记

RI(Sx,λf+g,ω(x0)-E)RIφ=-(φ(-j0)e-j0+1+φ(j0)ej0-1),

则

于是

成立, 式中Λ是式(27)其中之一.

(30)

Λ(n)∈{[-N,N],[-N,N-1],[-N+1,N],[-N+1,N-1]},

使得对m1,m2∈Λ(n), 满足

(31)

为证明式(30), 只需对ω做进一步的限制. 考虑关于(ω,E′,x)的集合

其中|j|≤N1,

ω∈Dc,A,

(32)

(33)

(34)

式(32)的作用是确定大偏差定理式(17)在n∈[-NA,NA]上成立. 事实上, 可以假设对所有的ω都满足式(1), 即

(35)

满足

(37)

由式(33)可得

det(R[-j,j](Sx,λf+g,ω(x0)-E′)R[-j,j])=0.

P(x,E′,ω)≥0.

(38)

如果N2足够大(即N足够大), 则可得

(39)

分割

由式(14)可得

再根据n和α的选取因素, 可得

5) 定义间隔

(41)

由于φ是广义特征向量, 故结合式(28), 有

Sx,λf+g,ω(x0)φ=Eφ, |φn||n|且φ(0)=1,