水-植物随机模型正解全局存在性与持久性

王晶囡, 陈 辉, 杨德中, 陆超轶, 谭雨丽

(哈尔滨理工大学理学院，哈尔滨 150080)

1 引言

内蒙古东部的科尔沁沙地，陕西省榆林市的毛乌素沙地，新疆南部的塔里木盆地是我国最严重的三大荒漠化地区.近年来，我国对内陆盆地荒漠化问题，采取了一系列重大举措加强防沙治沙工作，尽管全国范围内荒漠化土地从上世纪末年均扩展1.04 万平方公里转变为目前年均缩减0.2424 万平方公里.但目前我国土壤荒漠化的面积仍有261.16 万平方公里，占国土面积的27.2%.本文是以“探讨水与植物可持久生存的条件，为治理科尔沁等地区的荒漠化问题提供理论依据”为出发点而进行研究.大量的研究证实，科尔沁等土壤荒漠化地区斑图的形成条件是多方面的，主要包括土壤条件、气候条件、地貌条件、水文条件、植被条件以及人为因素.文献[1]提出了如下的水-植物相互作用的数学模型

2 水-植物随机模型解的有界性

其中H(b) = 1，意味着在荒漠化地区，植物对于水的需求很强，对水的竞争十分激烈，无论植物的密度较低还是较高，植物与水不会有化学反应，植物会将水分完全吸收.

另外，针对地势分布均匀的荒漠化地区水与植物相互作用的特点，本文在建模时忽略了模型(1)中扩散性和坡度问题，采用机制(2)的形式来描述荒漠化地区植物与水作用的机理，用x(t)和y(t)分别表示水和植物的量，可得到如下模型

另外，对于补水的量来说，补给水的供给形式、供给时间和供给地点都不会对它产生影响，只有供给量会产生影响，而供水量的随机影响相对随机补给对植物增长量的随机影响很小，所以本文的模型更着重探讨随机补给对植物增长量的随机影响，忽略补给水量的随机影响，我们在模型(3)中引入了如下形式的随机项(高斯白噪声)

来刻画随机补给水的供给形式、供给时间、供给地点以及供给量对植物生长的随机影响，其中B(t)是B(0) = 0 的标准一维布朗运动，σ ＞0 为随机强度.从而，得到如下具有随机效应的水-植物模型

为了便于研究水-植物随机模型的动力学性质，参考了文献[5-9]的研究方法，若除非特殊声明，否则本文所有的随机变量和随机过程均定义在一个带σ域流的概率空间(Ω,F,Ft,P)上，其中Ft={Ft}t∈[0,+∞)满足通常条件(详见文献[6])，并给出如下定义、符号和公式：

1) 定义

则物种x(t)称为是强平均持久；

3) 多维公式[6].如果X(t)是满足随机方程dX(t) = f(t)dt+g(t)dB(t)的一个多维Itˆo 过程，其中f(t)∈L1(R+,Rd),g(t)∈L2(R+,Rd×m).令V(X(t),t)∈C2,1(Rd×R+,R)，那么V(X(t),t)也是一个Itˆo 过程，且满足

对式(5)两边从0 到t积分，可得

图1 x(t)的轨道波形示意图

3 水-植物随机模型的持久性分析

显然，当k →∞，τk是递增的，令τ∞= limk→∞τk，由几乎处处τ∞≤τe可知，若τ∞达到∞，则τe达到∞，模型就存在唯一的全局正解.下面用反证法[7,8]证明τ∞达到∞.假设τ∞不能达到∞，则存在常数T ＞0 和ε ∈(0,1)，使得P {τ∞≤T} ＞ε成立.因此，存在整数k1，使得

由引理1 可知，模型(4)的解有界，因而可得

这里I(Ωk)是Ωk的示性函数.一方面由V(x0,y0)有界，可以得到V(x0, y0)+LT ＜∞；另一方面当k →∞时，ε[2(k-1-lnk)∧2(1/k-1+lnk)∧(k+1/k-2)]趋向无穷，由此可得V(x0,y0)+LT趋向无穷.于是有∞=V(x0,y0)+LT ＜∞，推出矛盾，所以假设τ∞取不到∞，是不成立的，即τ∞可达到∞，这就证明了模型存在唯一的全局正解，定理得证.

综上，植物是强平均持久的，定理得证.

4 数值模拟

下面利用数值模拟展示模型(3)与随机模型(4)中植物与水的演化过程图.基于荒漠化地区干燥的特点，水的蒸发率c和植物的死亡率f，植物的吸收率a都应该偏大，而植物吸收水后的增长率λ要比植物的吸收率a小.由理论分析结果，现取参数条件为

取随机强度分别为σ= 0.01, σ= 0.08 和σ= 0.15 进行数值模拟，模拟结果如图2 和图3 所示.

图2 随机强度较小时，模型(3)和模型(4)中水与植物的轨道波形图

图3 随机强度σ =0.15 较大时，模型(3)和模型(4)中水与植物的轨道波形图

在图2 和图3 中，位于上面的波形图模拟了模型(3)中水与植物波形图，位于下面的波形图模拟了具有随机效应模型(4)中水与植物波形图.图2 中展示了，模型(3)在无随机干扰时，水和植物处于持久共存状态，此时受到较小环境噪声干扰后，水与植物仍然能处于持久共存状态.这是因为随机强度σ= 0.01 和σ= 0.08，均处于植物强平均持久的参数范围σ2＜0.016 内.但不同的随机强度对植物生长的随机影响略有不同，随机强度较大者σ= 0.08 对植物生长的随机影响相对随机强度σ= 0.01 较大.图3 展示了，随机强度σ= 0.15 在植物的强平均持久的参数范围之外时，即σ2＞0.0165，此时植物在短时间内受到巨剧烈随机干扰后，快速趋于灭绝.通过对比图2 和图3 可知，水补给的随机强度过大，会导致植物的灭绝；如果环境中水补给随机强度较小，不会导致水和植物的最终灭绝，植物会以不同的形式存在，如斑图[1]等形式.

根据理论和数值模拟的结果可知，要想让植物存活于荒漠中，就要为其创造如下条件，以供植物的生长：

1) 调节水补给的随机强度以减少环境随机变化对荒漠化地区植物生长的影响；

2) 在荒漠化地区种植适应环境的植被，以减少植物的死亡率，从而达到的植物与水的共存；

3) 要定期增加水的供给，如饲养畜牧，人工灌溉，使用固体水等保水剂，使植物具有充足的水分；

4) 减少水分的蒸发，如采用集水帐篷等.

5 结论

本文讨论了具有随机效应的水-植物模型的正解全局存性和持久性问题.通过研究具有高斯白噪声随机波动因素的水-植物模型，利用相图分析法、Itˆo 公式、平均积分法和局部鞅的强大数定律，推出了水-植物随机模型解的有界性、证明了该模型的正解全局存在唯一性，得到了水-植物随机模型的强平均持久的充分条件.从而获悉水补给随机性对植物增长的影响规律：补给水的随机强度适中会改善植被的增长；补给水的随机强度较小可能出现斑图现象；补给水的随机强度过大会导致植物的灭绝，不利于植物生长.这些研究结果为治理土地荒漠化提供了理论依据.