网格中相似三角形的判定

王云峰

正方形网格试题具有趣味性、直观性、可操作性，体现了“在玩中学，在学中思，在思中得”的课标理念. 在正方形网格中判定相似三角形问题一直是中考的热点，下面举例介绍.

例（2020·浙江·湖州）在每个小正方形边长均为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形. 如图1，已知Rt△ABC是6 × 6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是 .

解析：由图可知，AC=1，BC=2. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=[AC2+BC2]=[5]. 在6 × 6网格图形中，格点线段长由大到小排列为：[62+62]=[62]，[52+62]=[61]，[52+52]=[52]，[42+52]=[41]，…，以长为[62]的格点线段为直径作圆，此时格点直角三角形是等腰直角三角形，与Rt△ABC不相似，不符合题意;以长为[61]的格点线段为直径作圆，此时格点直角三角形的两直角边长分别为5，6. ∵[51] ≠ [62]，∴該三角形与△ABC不相似，不符合题意;以长为[52]的格点线段DE为直径作圆，如图2，取格点F. 由勾股定理得DF=[32+12]=[10]，EF=[22+62]=[210]. ∵[DFAC]=[101]=[10]，[EFBC]=[2102]=[10]，[DEAB]=[525]=[10]，∴[DFAC]=[EFBC]=[DEAB]，∴△DEF∽△ABC，∴该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是[52].

故填[52].

[ ] [A][C][B][ ] [A][F][E][B][D][C]

图1 图2

点评：根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可知，面积最大的相似三角形的边长应最大，因此求解本题时，应先考虑将正方形网格中格点线段由大到小排列，然后利用“直径所对的圆周角是直角”通过画图确定出直角格点，最后利用“三边对应成比例的两个三角形相似”判定两三角形相似.