提升概括能力 感悟数学本质

邹佳琦

[摘 要]概括是数学思维过程的基本框架之一，也是数学思维方式的“核心”。小学生正处于由形象思维向抽象逻辑思维发展的重要时期，教师应当挖掘教材中的思维材料，并借助建模、类比等方式，帮助学生提升概括能力，感悟数学本质。

[关键词]概括能力;数学本质;数学思维

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）32-0008-02

现代教育理论提出，数学知识的结论形式和数学知识的产生过程离不开对概念、结构、关系以及各种经验的概括。一些教学实践也表明，学生的数学概括能力决定了对数学知识的提炼和获取能力，继而影响学生对数学本质的理解水平。由此可见，概括是数学结论产生过程的核心，是学生学习数学的必备能力。在实际教学中，教师除了思考“教什么”和“怎样教”，还应当注重提升学生的概括能力，帮助学生感悟数学本质，以此挖掘和激活学生的思维。

一、深挖教材，催生概括意识

概括包含感性概括和理性概括两种形式，感性概括往往在直观的基础上能够自发进行，而理性概括则需要学生对所获得的感性经验进行再加工和改造，是一种高级的概括形式。对于小学生而言，数学概括需要架构在感性认识和实践操作基础之上。因此，在概念教学中，教师要给学生提供典型丰富的材料并引导其观察和分析，从而抽象概括出数学的本质。作为概括过程中的载体，思维材料绝不是生搬硬套，而是应当在高观点的视角下发掘教材、巧用教材，让数学概念从模糊走向清晰。

【案例】如图1，三个小朋友都想做一个平行四边形，说法正确的有几句？

学生产生错误的地方主要是第2句。对此，笔者访谈了一部分学生，得知有的学生没有用三角形拼过平行四边形，不知道要强调“完全一样”;有的学生仅知道两个一样的直角三角形可以拼成平行四边形;有的学生虽然知道要强调两个三角形完全相同，但也只是机械地记住，对于概念中为什么强调完全相同似懂非懂。

问题的背后反映的是教育现实，说明教师可能并没有让学生经历完整的动手操作的过程，即使给学生安排了动手操作的活动，也只是“就书论书”，对需要分析概括的过程一带而过。 “平行四边形的初步认识”这节课，教材给学生提供了两副三角尺，并提出“用两块完全一样的三角尺拼平行四边形”这一要求（如图2）。

因此，很多教师在教学时通常都会按部就班，让学生直接用两块一样的三角尺拼出平行四边形。这样的教学无疑是填鸭模式，学生对三角形特点的感知仅仅浮于表面。

用不同种类的三角形到用完全一样的三角形来拼平行四边形，需要学生经历辨析和概括的过程，因此，教师不妨给学生提供若干不同和相同的三角形进行尝试，让他们选择其中的任意两个三角形去拼平行四边形。在拼的过程中，学生就会发现问题：不同的三角形都拼不成功，只有相同的两个三角形才能拼成平行四边形。当然，这只是学生在实践操作中初步的感知，如何让“完全相同”扎根于学生心中，还要引导学生进行具体的分析概括，从而归纳出一般性的结论。因此，在操作结束后，教师应尽可能多地让不同的学生展示所拼的平行四边形，引导他们仔细观察和思考“究竟什么样的三角形才能拼成平行四边形”，以此找出共同属性，间接地感知平行四边形的特点。

数学教学中，教师应当深入挖掘教材并进行加工和创造，使之成为有价值的思维材料，这样才能带领学生进一步探索，在概括中经历数学概念抽丝剥茧的过程。在这样的教学之下，学生才能看到知识本身的一个生动的发生、发展过程，从而生长出概括意识。

二、抽象建模，感悟概括之妙

数学学习从某种意义上说就是一个由复杂到简单，从具体到抽象的过程，教师要循序渐进、有条理地组织学生学习，引导学生主动经历知识的形成过程，提炼出简洁的思考方式，抽象出数学模型。

【案例】小明有12枚邮票，小丽有30枚邮票，小丽给小明多少枚邮票，两人一样多？

教师可以先给学生提供“退”的机会，即可以从简单的数据入手，通过画图来找答案。在学生已经有了思路以后，就可以引导学生列式计算，求出答案。最后，让学生反思之前的探究过程，归纳和总结方法，抽象出数学模型，即这类题本质上都可以概括成“小数+（   ）=大数-（   ）”这样一种简约的结构关系。

在上述教学过程中，教师依据学生的活动经验，引领学生自主建模，让学生在稍复杂的问题中筛去非本质的部分，概括出问题的本质所在，学习力于此悄然生长。

相对于数学习题，数学概念的教学亦是如此，换句话说，数学建模也是培养学生概括能力的好途径。

【案例】蔡宏圣老师所执教的“认识方程”片段

师：同学们看到课题一定在思考方程到底有什么特征。我告诉各位，第一个算式150=100+50不是方程，第二个算式x+700=800是方程，第三个算式x+700>800不是方程。现在请各位同学倒推出方程有什么特征。

生1：必须有一个未知数。

师：把谁和谁合在一起才发现方程一定要有未知数？

生2：把第一个算式和第二个算式合起来就会发现方程必须要有未知数，因为第一个算式没有未知数不是方程，说明了方程必须要有未知数。

生3：从第二个算式和第三个算式中发现方程中必须要有“=”。

师：那为什么第一个算式和第三个算式不是方程？

生4：虽然第一个算式有等号，但没有未知数，所以不是方程。虽然第三个算式有未知数，但没有等号，所以不是方程。

师：那第二个算式为什么是方程？

生5：因为它既有未知数，又有等号。

师：怎么判断一道算式是不是方程？

生6：不但要有等号，还要有未知数。

由上述片段可见，学生虽然没有系统学习过方程，但他们并非一张白纸， 他们有朦胧的感觉，该片段的教学目的在于激发和提升学生的这种感觉和体验。其实，方程概念的建立对于学生来说并不是一件轻而易举的事情，有部分原因是学生在建立方程概念的过程中，未曾经历一个充分的抽象与概括的过程。而蔡老师的处理方法可谓与众不同，让人眼前一亮。对于三个算式，直接开门见山，单刀直入，明确哪个是方程，哪个不是。学生在蔡老师的激发和引导下用数学的眼光观察和比较三道算式，对方程的本质属性进行抽象，发现并概括出“未知数”和“等号”这两个元素对于方程来说缺一不可，从而在脑海中建立方程最基本的模型，为方程概念“含有未知数的等式”做好了铺垫，丰富了对方程的体验。更重要的是，学生在建立方程模型，感悟方程本质属性的同时，也提升了抽象概括能力。

三、类比推理，提升概括能力

数学中的概念、属性、数量关系、经验归纳及思想方法间或多或少存在一些相似的属性，若将其类比就可沟通知识间的内在联系，加深学生对知识的理解，促进学生概括能力的发展和思维品质的提升。

【案例】“角的度量”的教学中，在学生掌握了在量角器上寻找相同度数的不同角之后，执教老师又精心设计了这样一个环节：

师：前面我们已经学习了测量长度，谁能来说说测量长度和测量角度有什么一样的地方？

生1：它们都可以从0刻度开始测量，测量到几就是几。

生2：也可以直接用大刻度减去小刻度，它们的差就是所测角的度数。

生3：它们都可以一度一度或一厘米一厘米这样数出来，就是数一共有多少个1度或1厘米。

師：测量就是一个个单位量累积起来的过程。除此以外，你们还在哪里见过测量？

生4：面积。当时是用1平方厘米的小正方形为单位量的，求图形的面积就是看图形里面有多少个1平方厘米。

师：是的，大家很善于联系，测量角度、长度、面积，包括今后需要学习的体积测量，其实都是一个个单位量累积的过程。

该环节中，教师让学生先比较、分析长度测量和角度测量之间的相同点，再类比面积测量和体积测量，引导学生体会“尽管测量的内容都不一样，但本质都是不变的，即测量实际上就是单位量累积的过程”。这里借助类比，帮助学生打通了不同知识内容间的关联，将测量的知识串成一条知识链，深入抵达测量的本质。

总的来说，从思维材料中概括出数学结论，不仅可以发展学生的思维，更重要的是能将形形色色的数学问题由复杂化为简单，由陌生化为熟悉，由抽象化为形象，让学生在陌生的“风景”之间也能寻找到熟悉感，从而概括出共通的规律，实现数学学习质态的真正提升。

（责编 金 铃）