本科学生对抽象代数教学改革的反思

宇文韬 彭振赟 李咏徽 王佐鸿 李美美

摘要：抽象代数是数学里十分重要的一门课程，它总结归纳了前人对代数学研究的理论精髓，又为后人研究更复杂的数学知识提供理论基础。然而掌握抽象代数的知识对学生而言却并非易事。本文从本科学生的角度讨论抽象代数的知识难点和在学习抽象代数过程中会遇到的困惑与阻碍。并且从教学的整体观念和关键章节的局部理解上分别进行讨论，对初学者如何更容易理解抽象代数的问题给出可能的方法与建议。

关键词：抽象代数;课堂教学;教学方法;教学改革反思

1. 引言

抽象代数已存世百年之久，从伽罗瓦引入群的概念起，更有近两百年历史[1]。其间，抽象代数让数学家感到精神上的愉悦;让数学体系更为完善严谨，体现了数学的内在美[2]。更是总结了一切旧代数学的成果，继而开代数几何、代数数论、代数拓扑之先河，也为费马大定理、尺规作图、多项式的解等世纪难题提供了解答，甚至在晶体学、信息、力学等领域大放异彩。然而对初学抽象代数的本科生而言，抽象晦涩的内容却使他们望洋兴叹。另一方面，当代大学生更喜爱快餐式学习，厌倦系统沉闷的教学方式，也更擅长浏览性的获取知识[3]。生活节奏的加快，课时缩短，业余兴趣的多元化等也挤压了学习时间[4]。本文将从学生角度反思学习抽象代数时遇到的问题，并给出可能的解决方法。

2. 抽象代数学习时会遇到的困难

第一，抽象代数本身过于抽象，许多理论在引入时无法给学生足够时间和例子用来辅助理解。但除了显而易见的“过于抽象”外，还有一个容易被忽视的问题：学生在接受陌生理论时，往往会对知识本身有质疑心理。这本来有利于学生的能力培养，但学生质疑一个新理论时，往往同时产生抗拒心理。

过于抽象还体现在命题的陈述化或符号化的表达上，有的是符号表达简单却用陈述法表达，但有的则相反。如以下两个对Jordan-Hölder定理的描述：

定理1：任一有限群的所有合成群列的长度均相等，且它们的合成因子在不计顺序的意义下对应同构。

定理2：设G是一个有限群，下面两个群列都是G的合成群列：

则r=s且存在（1，2， …，r）上的置换σ，使：

第二，学生无法快速掌握学习的脉络和内容的关系，分不清重难点。有时候可能会囿于次要的内容之中。正所谓“一叶障目，不见泰山”，学生课堂上和自学期间的注意力是有限的，一旦书本中和课堂上过于困难和无意义的东西太多，那么這些东西就不仅会浪费学生的时间，更会消磨学生的学习积极性。而书籍为了严谨，必须要有大量的引理和证明等次要内容。然而初学者不可能快速把握教材的行文脉络和重点内容，因此学生在阅读这些时感到疲倦也不足为奇。

第三，抽象代数定义和命题过多，名词易混淆，以至于十分容易遗忘。

例如：循环群，置换群，交换群，交错群，轮换，对换，对称群。

再如：同构，自同构，恒等自同构，自然同态，内自同构，内自同构群。

又如：Galois群，Galois域，Galois扩域，Galois对应。等。

这些名称对教师而言是顾名思义的，循环群就是一个元素的若干次幂会变成其本身，是一个循环;交换群就是满足交换律的群。但对于初学者而言，他们很难在初学时就掌握这些的内涵;即使掌握，也并不能熟练的区分和应用。而在后续的学习中，学生们很可能会忘记一个名词的含义，也可能把多个名词、对应的性质混淆，以致感到混乱。

第四，由于学习顺序，学生对后续较为简单的理论也会产生畏难心理。

第五，其它原因。如学生在第一次接受集合的元素也是集合的或者集合的元素是映射的情况时会感到较难理解或分辨不清，手机及其它诱惑源的影响等等。

3. 以学生角度对教学进行反思

3.1教学顺序的反思

当下教材主要是按照群环域的顺序教授的。这样的确会使书籍编写严谨，后面的内容也可借鉴前面的知识，环环相扣。但对学生而言更熟悉、更易接受的反而是域。但从域论讲起势必使教学过程显得过于臃肿。所以最好在第一课就引导学生对全书做鸟瞰，从熟悉的知识中总结环和域，进一步抽象出群的特点，然后以讲解群论内容为主。

3.2教学方式的反思

抽象代数知识繁多冗杂，极易记混遗忘。因此复习已经学过，且下节课要用到的知识比预习更重要：教师最好以作业形式复习下节课所需的知识，或在上课前几分钟复习本节课需要的理论。遇到名称相似，内容类似的理论时注意辨析。

授课时未必要线性地讲解每一节课的内容，或者说在提出一个定理后不用立刻给出证明，而是可以先讲解完所有与该定理有关的命题后再做证明。这样有利于学生整体把握知识的结构，了解知识的连贯性。先对知识做概览，用后面的知识帮助理解前面的理论也是一个较好的选择。

对于翻转课堂，也可借用上似顺序。但鉴于抽象代数难度大课时紧，很多学生并不完全理解这种新的教学模式，因此翻转课堂必然会受到阻力，且效果可能不会十分明显。这也决定了教师的主导作用必须较强。

4. 教学建议

等价类与等价关系的是不重不漏的分类，这种思想贯穿整个抽象代数，所以一定要尽早告诉学生。

群环域的概念的引出可通过线性空间进一步简化得到：线性空间数乘改为乘法，抽象为环，对乘法添加条件变为域，对域的加法与乘法分别研究，抽象为群。

群和群同态理论的名词含义很多，对名词含义辨析和区分十分重要，混淆词举例在第二节已经提到。同构两定理在后续很少用到，所以不需要太多介绍。

本科阶段理想的定义只需要理解交换幺环的理想，而交换幺环的理想内元素与生成子空间内元素在形式上是一致的。同时，费马大定理与代数数论的建立是一个很好的数学史内容。

域扩张与正规扩域中，维数的概念（若E在F上是线性空间，则维数记为[E：F]）可能会令一部分初学者无法理解，因为学生在学习高等代数时常常会忽略F的意义，在学习抽象代数中就会带来困难。另一个是对“域扩张”的理解，域扩张是一个主谓短语，但许多人初学时会将之理解为偏正短语。但如果按照后者理解，那么域扩张就成了一个动词——这会使学生感到奇怪。

Galois理论的主要难点是学生不理解Galois群的元素也是映射的事实，初学者也容易被复杂的映射关系搞混。

以上是从本科生角度对抽象代数教学进行的反思与总结，并在文章中提出了一些可能有用的教学方法与方式。更希望本文能够抛砖引玉，为教师的教学与学生的理解提供建议和新的观点。

参考文献

[1]杜宛娟.数学史融入抽象代数教学的思考[J].教育现代化，2018，5（48）： 246-247，250.

[2]王保红，魏屹东.对抽象代数的哲学审视[J].自然辩证法研究，2008（09）： 26-31.

[3]王致兰.浅析高职学生厌学心理及辅导对策[J].才智，2012（11）：285-286.

[4]刘晓芬，常青，甘棠.论学习态度对90后大学生英语学习的影响[J].中国校外教育，2010（16）：38.

作者简介

1.宇文韬（1998～），男，河北石家庄人;学士、桂林电子科技大学学生;研究方向：数学与应用数学

2.彭振赟（1963～），男，湖南邵东人;博士、桂林电子科技大学教授;研究方向：数值代数

3.李咏徽（2000～），女，吉林吉林人;学士、桂林电子科技大学学生;研究方向：数学与应用数学

国家自然科学基金项目：2020，桂林电子科技大学，多重约束条件下矩阵最优化问题的有效算法研究（11961012）

桂林电子科技大学 数学与计算科学学院 广西壮族自治区桂林 541010