在概率统计教学中培养学生的探究能力

江苏省运河中学 叶贵朋

统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制订决策提供依据。概率是人们判断一件事情发生的可能性大小的重要依据，它是一个确定的数。统计与概率的概念、原理都十分重要。

一、指导学生提出问题，激发探究的欲望

引导学生提出问题，可以很好地培养学生的质疑精神。学生在课堂上大胆地提出自己的疑惑，老师可以及时解决，防止问题越积越多，这不仅会影响学生的学习效率，还会降低学生的学习兴趣。

例如，《古典概型和几何概型》的教学，老师向学生给出了两个概念，首先，具有以下两个特点的试验称为古典概型：第一个特点是有限性，试验的样本空间只含有有限个样本点；第二个特点是等可能性，即试验中每个基本事件发生的可能性相同。其次，具有以下这两个特点的试验称为几何概型：第一，随机试验的样本空间为某可度量的区域；第二，任意区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关。最后，老师需要做的就是帮助学生摆正提问题的心态，提问题是一件好事。很多学生羞于提问题，担心自己提的问题过于简单，会遭到其他同学的耻笑，导致问题不断积累，和其他同学拉开差距。老师首先需要构建一个平台，促使学生提出问题。比如，对于上述两个概念，有的学生就会提出以下问题:“我觉得古典概率在生活中比较常见，那我们在判断的时候，是否可以用排列或者是组合的方式来考虑呢？”“古典概率是否存在某些缺陷？如果存在，是什么呢？”“在谈到几何概型的概念时，出现了‘几何度量’这四个字，我们应该如何理解这四个字呢？”通过构建提问题的平台，学生想提问题的心愿就能得到满足，就能进一步促进学生对知识的探索和思考。

二、提倡学生自主探索，经历探究的过程

在高中数学中，概率和统计算不上难度系数比较高的知识，因此几何和概率类的题目可以尝试让学生自主探究、自主完成。

例如，有这样一道数学问题：“在体育课堂上开展了这样一个体育活动，要求同学们向边长为一米的正方形沙坑内随机投球，如果投在正方形一条对角线上，可以获得额外的小奖励。试求球投在正方形的一条对角线上的概率。”这道题目中涉及正方形这个图形，因此它属于几何概型。第一步要做的就是确定样本的空间，题目中的样本指的就是这个边长为一米的正方形沙坑。可以建立直角坐标系，然后在x 轴和y 轴上分别找到显示为“1”的点，连线组成一个正方形。接着，确定这道题目所要求的事件就是“球投在正方形的对角线上”，用数学语言表达即A={（x,y）|x=y}。这时就需要用对角线段的面积除以正方形的面积。但是通过之前学习的知识可以得知对角线段的面积为零，那么这个事件的概率就为零。很多学生可能会感到非常疑惑：“为什么算出来的概率会为零呢？”其实概率为零的事件未必是不可能事件，只是说这个事件发生的概率无限小，无法用具体的数字把它表现出来，但它是有可能发生的，这一点需要学生重点记忆和理解。

三、引领学生谈论交流，激活探究的思维

在教学的过程中，老师可以有选择地抛出一些问题，通过这些问题引领学生进行思考和讨论。思考和讨论是学生学习数学时两种常见的学习形式，思考是一种思维活动，讨论是一种语言活动。

比如上述自主学习活动结束之后，老师就可以开展交流讨论活动：“请同学们思考如何判断一个试验是否为几何概型？例如，牛奶售货员会在早上八点到八点半给小明家送牛奶。但小明每天八点十分就从家里出发，最晚也只能延迟到八点二十，请问，售货员送牛奶时小明恰好在家的概率是多少？这道题目是几何概型还是古典概型呢？”学生讨论之后得到了结论：如果通过分析题目可以得出样本空间和数学表达式，就可以找到各自的几何度量，而几何度量是几何概型的重要因素，那么我们就可以判断这个事件为几何概型。在这道题目中，牛奶售货员送牛奶的时间段和小明同学上学的时间段分别构成了各自的几何度量，因此我们可以判断这道题目为几何概型。讨论具有很多有利的因素，许多学生表示：“讨论能够形成一种良好的学习氛围，能够让我们在快乐中学习，可以大胆地提出自己的问题，同时还培养了我们勤思考、大胆创新的好习惯。”

四、鼓励学生发散思维，拓宽探究的范围

探究的目的是培养学生解决在日常学习中遇到的问题，进而学会自主解决学习中的其他问题。因此，在学生遇到问题时，教师应当鼓励学生尽可能地发散思维，思考相关问题的解决方式，拓宽研究的范围，借此更好地达到探究的效果。

例如，在教材上的阅读内容中，提到了我国宋朝时期著名数学家杨辉所著的《详解九章算术》中的随机数表，它描述了这样一个问题：有一个三角形样的通道及下方相互隔离的储槽，若把一粒球形小珠随机放入最上方的通道入口，那么小珠落入每个储槽的概率有什么规律？因为在上方的入口箭头处随机投入2n粒球形小珠，当每粒小珠落下时，每到一层的分隔处都以二分之一的概率向左边或向右边的下一层垂直通道下落，所以在任何一层的两个通道都只有一种可能情况，我们可以由此得到小球落入每个储槽的概率公式。这时我们就会发现，这样的模型我们很熟悉，因为在介绍正态分布的函数时，我们就引用了这样一个模型：从高处随机抛下一个小球，小球落在每个区间的概率是多少？因此，老师可以问学生：“由该规律数表，你们能够得到什么结论？你们能够联想到其他什么知识？”教师通过引导学生，让学生从概率数表联想到二项分布的函数图像，其实就是在相关知识点上拓展学生的研究范围，帮助学生联想扩展，由已学知识进一步解决更多的问题。

五、加强学生思维训练，增强探究的效能

学生探究思维的培养并非一日之功。在学生日常的学习中，教师鼓励学生多加思考，更好地加强和巩固学生的探究思维。

高中课本中的概率统计学，其实就是从随机现象出发，推导这些现象发生的概率，形成一定的数学模型，得到一般的总结性规律，最后再将这些规律运用到其他数学问题中去。因此，无论是随机现象中的概率事件分类中，还是在对立事件的讲解中，又或是在古典概型和几何概型的学习中，教师都可以在每一堂课的学习过程中向学生提出一些探究式问题，如：“古典概型和几何概型有哪些具体的应用？”“概率事件能与哪些其他内容联系起来？”这类问题需要学生去自主学习、研究和探索，鼓励同学之间相互交流。在经过这样长期的、持续的训练之后，探究性思考才能成为学生的一个习惯，而学生的自主学习能力也将因此得到很大的提高。

总之，统计和概率这部分内容有利于培养学生的辩证性思维。学生会根据统计和概率中相关知识的特点去判定事件的类型，之后运用相关的数学知识去解决问题，求出概率或者得出统计的最终报告。