厘清算理与算法——小学高年级数学算理教学研究

林钦

（永泰县第二实验小学，福建 永泰 350700）

算理与算法均是运算教学的重要内容，两者相辅相成，不可独立存在。在教学实践中，教师应针对教学内容与实际学情进行算理、算法教学，使学生既知其然，也知其所以然，切不可只教算法而忽视算理。［1］但是，有些教师对算理教学认识不深刻，导致在教学过程中缺乏引导学生深入探究的意识，教学始终侧重于算法掌握。例如，高年级算理的部分内容是中年级的算法，而中年级算理的部分内容是低年级的算法。这说明算理、算法是相互交织、螺旋上升的。然而，教师在教学过程中忽视了算理与算法之间存在的紧密联系，教学呈现碎片化，影响了小学生知识体系建构。

一、小学算理算法教学的问题误区

小学阶段是学生奠定基础的关键时期，算理结构的整体建构对日后学习与发展具有深刻影响，计算教学忽视算理与算法的联系，会使学生学习的知识难以构成一个整体，从而不能深入理解算理。因此，在说理教学中，教师需要引导学生将算理与算法联系在一起，让学生在了解算理的基础上探究算法，在探究算法的过程中深入理解算理，促进知识体系建构，做到既可以清楚地“说”理，又可以准确地“用”法，从而奠定扎实的计算基础。

另一方面，算理算法缺乏内在的一致性，在教学过程中没有实现算理到算法的自然过渡。在推导和计算过程中，教师没有给予学生充足的时间和机会交流计算过程中运用的运算定律、体现的运算性质。例如，在分数乘法教学中，教师先结合图示讲解分数乘法运算方法，然后组织学生进行练习，帮助学生巩固知识。但是整个过程教师忽视了说理，很多学生并不能说清楚“为什么分母相乘做分母，分子相乘做分子，其中蕴含着什么道理？”，在做练习题时，很多学生也是死记硬背法则，通过记类型、套用数量关系来进行计算。这种方法可以应对简单的计算，一旦面对复杂的运算就会出现逻辑不清、法则混淆等问题。实际上，教师可以贯通抽象表征、现实表征、直观表征进行分数乘法算理教学，引导学生在理解算理的基础上推导分数乘法运算的程序与方法，从而做到算理到算法的自然过渡，使学生将算理内化于心，形成数学思想，提升数学素养。［2］

二、小学高年级数学算理教学策略

（一）注重经验积累，积极引导学生说理

学生是学习的主体，在算理教学中，应积极引导学生进行说理，使其在“说”的过程中理解算理，掌握算理。［3］新课标的实施进一步明确了小学数学教学任务，指出数学教学不仅要教会学生知识技能，还应引导学生探究知识技能所蕴含的道理，促进学生全面发展。基于此，算理教学，既要关注学生对算理的运用，还要组织学生进行算理探究，促进经验积累。说理作为算理教学的一部分，教师应明确说理的外在形式是“说”，但关键在于“思”。以学习“认识生活中的负数”这部分内容为例，教师关注知识点的应用、与其他知识的联系等，引导学生在思辨中深化算理理解。课堂上，教师出示旧习题，要求学生运用负数知识来解决以前做过的题目，例如解方程“100-x=28”，减数为x的方程一直是学生的难题，很多学生经常出现计算错误。利用负数，可以把左边的-x移到右边，变成+x，然后就很快做出题目了。通过旧题新做，让学生深切体会负数的价值，而这个说理的过程也是学生推理能力发展的过程。由此可见，教师需要转变机械式习题练习的思维以及灌输式教学的思想，立足学生主体以及知识整体设计练习，这样才能有效促进学生能力发展。

（二）立足核心素养，科学设计教学目标

随着新课改的深入，小学数学教师对数学核心素养的重视程度不断提升。运算能力培养是小学数学教学的主要任务之一，传统教学关注计算技能的掌握，核心素养背景下，教学不仅要关注计算技能的掌握，还要关注逻辑推理能力发展。［4］这就要求教师立足核心素养，科学设计教学目标，围绕目标设计教学活动。以“分数除以整数”教学为例，教师设计以下教学目标：（1）借助已有的经验理解分数除法的意义并掌握分数除法的计算方法，能正确计算分数除以整数；（2）通过富有启发性的问题情景和探索性的学习活动，培养自己主动参与、独立思考、合作交流，形成计算技能；（3）在教学中渗透转化的思想，充分感受转化的美妙与魅力。为了促进教学目标达成，教师以问题进行启发，引导学生在说理的过程中逐渐掌握算理。例如在课堂导入环节，设置整数除法习题练习，并提问“整数除法的意义是什么？联系整数除法的意义说说分数除法的意义是什么？”而后小组活动，要求各个小组根据题目要求折纸，通过实践探究折纸方法、计算过程并派代表进行汇报，交流算理。结合教学实践可知，立足核心素养设计教学目标，利于教师围绕算理设计教学活动，对促进学生数学能力提升具有积极影响。

（三）注重情境创设，引导学生感受算理

小学生认知发展水平有限，对抽象的数学知识理解能力较弱，基于具体情境教学利于将抽象的知识具体化，从而促进理解与运用。在说理课堂中，教师可以通过情境创设进行知识拓展，引导学生将学习到的知识与现实生活联系到一起，实现知识迁移。以“圆的面积”为例，教师展示公园的中的圆形花坛，基于具体情境提出问题：“国庆节需要将圆形花坛铺满花，请你帮设计师计算出花坛的面积。”课堂中，学生的探究、交流过程是一个说理的过程。首先，学生结合圆形与之前所学图形进行猜想，指出可以将圆形分割成若干份大小相同的扇形，而后将这些扇形转化成近似的长方形或平行四边形计算。基于猜想，学生进行动手实践，经过图形对比发现“分的份数越多，拼成的上下两条曲线越来越接近一条直线，左右两条线也在慢慢发生变化。所以越来越接近一个长方形”。而后，教师带领学生运用长方形面积公式计算所探究的圆的面积，并组织学生思考长方形的长与宽，分别代表圆的什么。结合转化前后的图形，学生很快得出：“长方形的长=π×r，宽=r。”最终，学生掌握并透彻地理解了圆的面积计算公式，运用公式解决了课前教师提出问题。由此可见，创设具体情境引导学生进行说理，既可以提升学生探究能力，又可以帮助学生深入理解算理，从而促进知识迁移应用，有效解决生活中的问题。

（四）运用数形结合，提升算理探究效果

数形结合主要指通过数形之间的转化，将抽象的数量关系以图形的形式展现出来，使得数量关系更为直观。算理教学中，数与形结合的应用利于小学生理解算理、探究算理。［1］在说理课堂中，教师需要充分引导学生参与，因此，可以通过小组合作的方式引导学生尝试将数学算式与图形结合起来。以“分数乘法”教学为例，教师巧妙地借助数形结合的方法，用画图或列表的方法表示实际问题中的数量关系，通过分步或综合列式，解决实际问题，进一步提高学生分析和解决问题的能力。这样的方式让学生不但知其然，而且知其所以然。同时，教师设置了自由发挥环节，要求学生结合生活实际自己设置“分数乘法”问题，并以数形结合的方式进行说明。通过实践发现，以数形结合的方式进行说理教学，能够有效提升算理探究效果，促进知识掌握。