上半凹函数和下半凸函数的一阶粘性导数的存在性

汪元伦，胡小平，任秋道

(绵阳师范学院数理学院，四川绵阳 621000)

0 引言

凹凸函数是一类重要的函数，凹凸函数及其推广的拟凹、拟凸函数已被广泛应用到最优化、不动点等许多领域，特别是在不可微最优化的研究中，凹凸函数是作为最重要的不可微函数类进行研究的[1].文[1]中讨论了拟凹、严格拟凹和强拟凹函数的特征和性质.在此基础上针对几乎处处可微的函数，弱化了常规的凹函数和凸函数概念，给出了上半凹函数和下半凸函数的概念.粘性上(下)导数来源于从八十年代初建立起来的偏微分方程粘性解理论.然后讨论了上半凹函数、下半凸函数和一阶粘性上(下)导数的关系.

1 相关定义

设u(x):Ω→R,x0∈Ω⊆Rn,u(x)在Ω上是几乎处处可微的.

定义1 设函数u(x)是几乎处处可微的，若∃λ>0，∀α>0使得u(x)-λ|x|α+1是凹函数，就称函数u(x)是上半凹函数.

定义2 设函数u(x)是几乎处处可微的，若∃λ>0，∀α>0使得u(x)+λ|x|α+1是凸函数，就称函数u(x)是下半凸函数.

定义3[2]集合J+u(x0)={p∈Rn:u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+o(|x-x0|)}称为函.

定义4[2]集合J-u(x0)={q∈Rn:u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+o(|x-x0|)}称为函

数u(x)在点x0的一阶下导集，其中的元素称为一阶下导数.

2 两个相关结论

命题1 如果u(x)是上半凹函数，D表示一阶导数，则∃x0∈Ω,使得.

p∈J+u(x0)={Du(x0)}，p=Du(x0)

证明因为u(x)是上半凹函数，那么∃λ>0，∀α>0使得u(x)-λ|x|α+1是凹函数，由u(x)是几乎处处可微的可知，取xn→x0，注意到{Du(xn)}有界，取{Du(xn)}的任意收敛子列，仍记为{Du(xn)}，Du(xn)→p(n→∞).由u(x)-λ|x|α+1是凹函数可知，在点列xn上有

u(x)-λ|x|α+1≤u(xn)-λ|xn|α+1+D(u(xn)-λ|xn|α+1)·(x-xn)

即

故

u(x)≤u(xn)+Du(xn)·(x-xn)+λ|x-xn|α+1

令n→∞，有

u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+λ|x-x0|α+1，

即

u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+o(|x-x0|)，

其中o(|x-x0|)是|x-x0|的高阶无穷小.

所以

p∈J+u(x0)={Du(x0)}，p=Du(x0)

故命题1得证.

命题2如果u(x)是下半凸函数，D表示一阶导数，则存在x0∈Ω，使得

q∈J-u(x0)={Du(x0)}，q=Du(x0)

证明因为u(x)是下半凸函数，那么∃μ>0，∀α>0,使得u(x)+μ|x|α+1是凸函数，由u(x)是几乎处处可微的可知，取xn→x0，注意到{Du(xn)}有界，取{Du(xn)}的任意收敛子列，仍记为{Du(xn)}，Du(xn)→q(n→∞).由u(x)+μ|x|α+1是凸函数可知，在点列xn上有

u(x)+μ|x|α+1≥u(xn)+μ|xn|α+1+D(u(xn)+μ|xn|α+1)·(x-xn)

即

故

u(x)≥u(xn)+Du(xn)·(x-xn)+μ|x-xn|α+1

令n→∞，有

u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+μ|x-x0|α+1

即

u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+o(|x-x0|)

其中o(|x-x0|)是|x-x0|的高阶无穷小.

所以

q∈J-u(x0)={Du(x0)}，q=Du(x0)

故命题2得证.