对一道经典求极限问题的思考

李国强

(贵州财经大学 数统学院，贵州 贵阳 550025)

0 引 言

极限是微积分的理论基础，[1]也是高等数学区别于初等数学的本质原因. 因此，极限问题是大学数学竞赛、考研数学等考试中必考内容之一.[2]计算极限的方法很多，包括直接代入法、两个重要极限、等价无穷小转换、洛必达法则、泰勒展开和拉格朗日中值定理等，很多时候需要这些方法同时交错进行. 笔者通过一道经典极限计算问题，一步步减弱题目中的条件，探讨新方法的适用性.

1 原始问题及其变形

要考虑的问题为

这里不急于解决该问题，我们先由强到弱改变题目中的条件.

解：

解：f(x)在x=0处展开：

所以，

由于x→0时，x～ex-1，所以o(x3)=o((ex-1)3)，

从而

故

接下来有很多种方法可用，这里笔者采取对分子因式分解，然后利用等价无穷小量转化.

所以

注意，由于变形2中的条件比变形1中的弱，所以变形2中的方法仍然适用于变形1.

分析：该变形中的条件再次减弱，f(x)的三阶导数不一定存在，故不能采用泰勒展开的方法. 可先进行一次洛必达法则，观察会出现什么情况.

注意，变形3中的方法适用于变形1和变形3.

下面来看原始问题即变形4.

解：先用拉格朗日中值定理

所以

注意，变形4中方法适用于变形1、变形2和变形3.

结 论

原始题目的条件由强到弱经历了三次改变，每次改变所用的解法都适用于前面的变形. 针对不同的条件，灵活运用了几乎所有的求极限技巧. 比起一题多解，这种讨论问题的方式更加能够训练学生的发散性思维，[3]加深学生对数学严谨性、奥妙性的认识.