三维图灵图案的数值模拟

高仁祥

摘要：本文主要研究了布鲁塞尔模型，讨论了霍普夫分岔和图灵分岔分别为超临界和亚临界时的情况，发现全局振荡在空间上失稳后形成了振荡的图灵图案;在图灵和霍普夫分岔都是亚临界的区域，通过施加周期性外力也可产生振荡的图灵图案。这些图案大部分在时空上都呈周期性。本文首次在三维体系中探索了图灵图案的结构、形成以及基本规律。

关键词：图灵图案;振荡;分岔

1. 引言

1952年，被后人称为计算机理论之父的英国著名数学家阿伦·图灵 （ Alan Turing ） 在其论文“形态形成的化学基础”中，从数学的角度表明在反应扩散系统中，稳定均态会在某些条件下失稳，并自发产生空间定态斑图，后人以其名字命名为图灵图案（ Turing Pattern ）。由于图灵图案和自然界中的某些图案非常相似，如动物体表的花纹和植物的花朵等。因此对图灵图案的研究有助于了解动物体表花纹形成的过程和植物的花朵的形成机理，有助于我们早日揭开大自然的“神秘面纱”。三维图灵图案比起一维和二维更接近于真实的生物体系，因此对三维图灵图案的研究可以帮助我们深入探求生命体系中的非线性本质和斑图形成的基本规律，揭示生命体系中深层次的动力学机理。通过对一些斑图动力学中建立的数学模型进行数值模拟和理论分析，可用于指导斑图动力学实验研究，揭示斑图动力学机理和实现复杂化学反应的调控，即现象的确证和调控。

2.模型计算

2.1 计算模型及理论分析

首先用原始的布鲁塞尔子模型，然后在原始的布鲁塞尔子模型上加了周期性外力项，来探索周期性外力对图灵图案的影响。

2.2 模拟结果

模拟使用128×128×128的空间网格，周期性边界条件，时间步长为 0.002 5，空间步长为 0.5。如果 Du > 6.3，体系是全局振荡，当 Du 在 6.0 和 5.7 附近时，分别为振荡的立体网状图案（图2（a）-2）和振荡的缺陷网状图案（图2（a）-3），物质u的时间序列分别为周期2和准周期如图2（b），它们均为超临界。随着逐渐减少 Du 的值，规则的静态图灵图案就会出现：由排列无归的静态圆球状图案到静止的迷宫型图案，最后为静止的致密迷宫型图案，它们都是在远离图灵分岔线区域形成的。先前杨灵法等在二维体系中研究过布鲁塞尔子，他们也在远离图灵分岔线的区域得到了振荡的四边形、六边形和全局振荡图案，并且这些图案的时间序列都是周期二，在空间相位上相差半个相位，本实验在三维里模拟出来的振荡图案的时间序列与杨灵法等很相似，但是三维里的振荡图案和二维里的却有很大差别，这主要是因为体系的模在相位的选择上有都了一个维度，因此形成的图案也更加复杂。另外一个三维体系不同于二维体系的显著不同是三维体系里出现了准周期（图2（b）-1）。这些振荡的区域都是出现在霍普夫分岔的超临界区域。

在霍普夫分岔和图灵分岔的亚临界区域从理论上分析是稳定区域，但是当施加周期性外力后也能形成振荡的图灵图案，即方程（1）中 > 0 时能形成周期性振荡图案。图3所示图案是图1中第7点在施加外力时的振荡图案，我们施加的固定大小外力= 0.15，改变施加外力的频率的大小。=0.38时出现粗大圆管立体网状振荡的图案，=0.42和=0.43时的图案均为普通的空间六边形网状结构，继续增加外力的频率，=0.44时为类似与金刚石的立体网状结构图案，这些图案的的对应的时间序列均为周期2。当改变施加外力的大小时也能形成时间序列为周期2的振荡的图灵图案，例如在α=0.12 ， 0.17和 0.20 时均可形成类似的图案。图3（b）所示的图案是图3（a）-4所对应的图案的完整周期，在这个完整的周期图案中，与+T/2对应的图形很相似但并不完全相同，它们在空间的相位上相差 1/2 个相位，即=0.44时对应的图案为时空振荡图案，它们的振荡模式均为周期2。同时改变 和时，出现的振荡模式也是时空均为周期2振荡的时空振荡图案。

3.结论

（1） 本文使用布鲁塞尔模型研究了霍普分岔和图灵分岔分别为超临界和亚临界的情况，全局振荡在空间上失稳后会形成振荡的图灵图案。

（2） 在图灵和霍普分岔都是亚临界的区域，通过施加周期性外力也可产生振荡的图灵图案，这些图案大部分在时空上都呈周期性。

（3） 本文对如何在实验上产生三维的振荡图灵图案也有一定的帮助。例如，对于凝胶反应器中的次氯酸—碘化物—丙二酸反应体系[8]，可以从略高于霍普夫分岔线的区域改变体系的参数，从均一稳定的状态变化到全局振荡。然后，逐渐改变反应器中反应物的浓度接近图灵分岔线（就如图1（a）中从第1点变化到第4点）。

参考文献

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