重力梯度力矩作用下近地卫星自旋运动规律分析

蔡立锋，张国云，洪涛，李卫平，林海晨，孙振江

中国西安卫星测控中心 宇航动力学国家重点实验室，西安 710043

1 引言

近地卫星一般处于主动姿态控制下三轴稳定运动状态，卫星在轨常发生姿态失控故障，此时常处于无主动控制情况下的自旋状态，对于其自旋姿态的确定和预测是姿态故障恢复的前提[1-4]。当卫星到达寿命末期，由于部件故障等原因需要对卫星进行离轨或钝化，使得卫星处于姿态无控状态，可以设计近地卫星姿态自旋策略，使卫星仍然保持能源供应和测控。比如对某近地卫星离轨处置后的姿态自旋策略，提出了一种长期在轨稳定自旋的姿态控制模式[5]。因此，很有必要对近地卫星自旋运动规律作进一步研究。

近地卫星受地球扁率J2项摄动，轨道面一般处于进动状态。典型的太阳同步轨道卫星，轨道面随太阳进动，同时受到重力梯度、太阳光压、地磁、气动等复杂摄动力矩作用，使得星体角动量在惯性空间指向发生变化。一般来说，对于低轨卫星，重力梯度和地磁力矩起主要作用[6]。地磁力矩来源于星上电子仪器产生的剩余磁场，或者来自姿态控制用的磁矩线圈，均与卫星星上状态有关。本文主要考虑重力梯度力矩作用下卫星运动规律。

受地球重力梯度力矩作用下的自旋卫星的运动规律，从自旋卫星的平衡状态角度，有著名的汤姆孙(Thomson)平衡和莱金斯-普林格尔(Likins-Pringle)平衡[7-9]。其中汤姆孙平衡自旋轴指向轨道面法线；莱金斯-普林格尔平衡要求自旋轴进动角速率等于轨道角速度，自旋角速率一般小于轨道角速度。这几种自旋平衡条件是在假设卫星为轴对称刚体，并且卫星轨道为圆形且轨道面不存在进动，实际上除了倾角为90°以外的低轨卫星轨道面均存在进动。文献[10]分析了重力梯度作用下轴对称飞行器自旋运动，给出了进动角速率近似解。当卫星自旋角速率较大时，文献[11-12]指出对于受微弱力矩作用的高速旋转刚体，应用Serert-Andoyer正则变量可使分析过程明显简化。文献[13-16]运用基于Serert-Andoyer正则变量分析了自旋运动及重力梯度作用下的近似解。文献[17]利用数值仿真的方法研究了重力梯度力矩引起的自旋稳定卫星姿态摄动，发现一些运动规律，但仍没有考虑存在轨道摄动的情况。本文建立非轴对称近地卫星在受地球非球形等摄动轨道面缓慢进动时，在重力梯度影响下的姿态运动模型，推导自旋角速率满足一定条件下自旋运动的进动角、章动角、自旋角的解析解，讨论近地卫星自旋姿态在重力梯度摄动下运动规律及其应用价值。

2 姿态摄动常微分方程组

2.1 姿态运动方程

定义卫星轨道坐标系，z轴由卫星质心指向地心，x轴在轨道平面内与z轴垂直，指向卫星运动的方向，y轴与z、x轴成右手螺旋关系。定义交点轨道系为卫星处于升交点时的轨道坐标系。星体相对于交点轨道系的姿态采用欧拉角，为便于分析自旋轴进动规律，定义姿态转序为2-1-2，对应的欧拉角为θ,φ,φ。星体相对于J2000惯性坐标系的角速度在星体坐标系b中的投影为ω=[ωx,ωy,ωz]，可建立[θ,φ,φ,ωx,ωy,ωz]六变量的姿态运动常微分方程组。

姿态运动方程描述星体相对于交点轨道系的运动规律。欧拉角表示的坐标转换矩阵为[6]：

(1)

将式(1)代入并整理得：

(2)

其中，上标bx、by、bz表示角速度投影到星体坐标系中各轴分量。

2.2 姿态动力学方程及重力梯度表达式

投影到任意坐标系l的姿态动力学方程[6]：

(3)

式中：I为星体转动惯量；ω为星体角速度；M为外力矩，本文即为重力梯度力矩；下标bi表示星体相对于惯性坐标系，li表示任意坐标系l相对于惯性系i；上标l表示投影到坐标系l。当投影参考系为星体坐标系b时，式(3)变为：

(4)

(5)

展开可得：

(6)

(7)

(8)

式(8)中星体转动惯量I惯量积为0。I与坐标轴的选取密切相关，总可以通过坐标变换将卫星惯量矩阵转化为惯量积为0的对角矩阵，而且一般的星体坐标系的设置均使得非对角元素惯量积相比对角元素转动惯量很小。因此，不失一般性，以下仅讨论在惯量矩阵为对角矩阵情况下的姿态运动方程。设地心到卫星的矢径在轨道坐标系和星体坐标系中分别表示为ro和rb，则ro=(0 0 -r)T，rb=R2(φ)R1(φ)R2(θ)R2(u)ro，u为卫星轨道纬度幅角，即从升交点起沿卫星运动方向到卫星转过的角度。将rb表达式代入(8)式可得：

(9)

3 自旋运动解析解

3.1 解析解的推导

定义莱查坐标系[7-8]为先绕交点轨道系y轴转动θ，再绕新的x轴转动φ形成的坐标系，θ为进动角，φ为章动角；星体坐标系b即为莱查坐标系绕自身y轴旋转一个自旋角φ形成。

用下标l表示莱查坐标系，式(3)即为投影到莱查坐标系的姿态动力学方程，将式(3)写为：

(10)

(11)

(12)

(13)

投影到莱查坐标系的转动惯量Il=R2·(-φ)IbR2(φ)，由式(11)～(13)可得到H1的分量为：

(14)

(15)

(16)

莱查坐标系下的重力梯度力矩Ml为：

(17)

由式(14)(15)，略去4阶以上小量，得到：

(18)

(19)

式(17)～(19)代入式(16)，并略去2阶以上小量可得：

俗话说，有好的思路，把它变成现实才是最重要的。“科学发展观”的基本要求是全面协调可持续，就是要推进各个方面的发展，实现速度、质量、效益统一，而不能顾此失彼。“科学发展观”的根本方法是统筹兼顾，也就是要统筹解决生产建设中的各种关系和问题。而这一切都离不开高质量、高效能的管理。为此，我们需要时刻保持拼搏进取、勇创一流的精神状态，始终坚持以追求卓越为目标，持之以恒地抓好“制度建设、管理模式、管理效能”这三个关键环节，全面提升管理标准和水平，探索形成高质量、高效能的管理模式，为全面协调可持续发展奠定坚实的管理基础。

(20)

令：

则式(20)中cos2(u+θ)可分解为下式：

cos2(u+θ)=

这里略去了小量周期项，代入式(20)，得到进动角、章动角平均值的解析式：

(21)

进动角、章动角的周期项如下：

(22)

进动角和章动角平均变化速率为：

(23)

3.2 自旋运动规律及解析解成立的条件

(24)

(25)

(26)

4 数值仿真分析及对解析解的验证

图1 角动量空间运动Fig.1 Spatial motion of angular momentum

以方程(2)(4)建立常微分方程组，采用数值积分仿真分析。初值设计卫星绕最大主惯量轴自旋，设为卫星本体y轴，初始条件为：

(27)

图2 角动量方向与自旋轴夹角αFig.2 Angle α between angular momentum direction and spin axis

图3 进动角速度数值解与解析解Fig.3 Numerical and analytical solutions of precession angular velocity

图3是进动角速率变化曲线，虚线为进动角速率按照自旋角φ求平均的结果，进动角速率仍存在周期运动，周期近似为轨道运动周期的一半，实线为式(23)确定的常量加式(22)确定的周期项，可见数值曲线和解析解曲线符合得很好。图4和图5分别是进动角和章动角变化曲线，实线表示解析解，为式(21)确定的平均值加上式(22)确定的周期项，初值取平均值即式(27)中的初值减去式(22)确定的周期项。图4符号“*”连接的曲线为进动角数值解，与解析曲线符合得很好，进动角近似线性变化；图5虚线部分为章动角数值解，解析解给出的平均值曲线在数值解包络中间。章动角在卫星运行10d轨道面进动接近10°后，仍然保持在初值附近小幅波动，说明自旋进动和章动运动跟随轨道面一起进动，图1显示的自旋轴空间运动也说明这一点。由图3～5可见，解析公式(21)～(23)计算的进动角、章动角及其变化曲率计算结果与数值计算结果非常接近， 这就说明了解析公式的正确性。

图4 进动角θ数值解与解析解Fig.4 Numerical and analytical solutions of precession angle θ gradient

图5 章动角φ数值解与解析解Fig.5 Numerical and analytical solutions of nutation angle

5 结论

本文推导了重力梯度力矩作用下近地卫星自旋运动的解析公式，分析其运动规律为：近地卫星受地球非球形等主要摄动影响，卫星轨道面缓慢进动，当卫星绕最大主惯量轴旋转且自旋角速度在一定取值范围时，自旋轴以恒定的平均角速率进动，进动轴接近轨道法线，章动角在小范围内波动，波动周期与进动周期相同；进动角速率与卫星轨道高度、自旋转速、三轴转动惯量及章动角有关；卫星的进动、章动和自旋运动随着轨道面的进动一起进动。

卫星失控自旋后由于能量耗散作用，最终绕最大主惯量轴自旋，利用解析公式，可以在已知自旋轴进动角速率和自旋转速情况下(一般星上传感器容易测得)，计算自旋轴与轨道法线夹角的姿态信息，这就为卫星失控自旋后的姿态确定提供了理论依据。当卫星发生姿态测量元件或者部分姿态控制部件故障后，可以建立适当的卫星自旋姿态，由于自旋轴方向随轨道面一起进动，且轨道面随太阳同步进动，因而能够在卫星姿态测量部件和控制部件关闭的情况下，保证太阳能翼板稳定接收太阳能；同样的设置可以应用在卫星在轨备份，当设置适当的自旋状态后，可以关闭一切姿态测量部件和控制部件，卫星仍能保持姿态稳定、能源稳定的测控稳定，实现长寿命在轨保持，需要时可快速激活使用。