赋Orlicz 范数的Orlicz 序列空间的局部k-β 性质

刘红娇，李 晶

（吉林师范大学博达学院 数学学院，吉林 四平 136000）

0 引言

随着时代的发展，Orlicz空间中的理论日渐完善［1-6］，但是仍然有许多几何性质和点态性质有待研究.本文将在一类具体的Banach空间—赋Orlicz范数的Orlicz序列空间中讨论k-β点的刻画问题，并进一步得到该空间具有局部k-β性质的等价条件．

1 预备知识

定义1.1［1］设k是一个正整数. 点x∈S(X)称为k-β点是指对于任意ε> 0，都存在δ=δ(ε，x) > 0，使得对任意的一个序列(xn) ⊂S(X)只要满足，就存在k个正整数n1，n2，…，nk作为下标，使得

定义1.2［7］设Φ： ℝ →[ 0，+ ∞)是一个映射，该函数称为Orlicz函数是指：

（1）Φ是偶的、凸的并且是连续的；

（2）Φ(0) = 0；

（3）对于任意一个u≠0，有Φ(u) > 0；

与之相对应的，称函数

为Φ(u)的余函数.显然地，通过定义可知，函数Ψ也是一个Orlicz函数. 在下面地论述中，用p(u)和p-(u)（或q(v)和q-(v)）分别表示Φ（或Ψ）的右导数和左导数.

定义1.3［5］称函数Φ满足Δ2-条件（记为Φ ∈Δ2）是指存在正数K> 2和u0> 0，使得

成立.

定义1.4［7］称Orlicz函数Φ是严格凸的是指对于任意的u，v∈ℝ，u≠v，有

定义1.5［7］在Orlicz序列空间中，实数列x=()x(i) 的Orlicz函数模为

对于线性集

来说，关于Luxemburg范数定义为

或Orlicz范数定义为

赋Luxemburg范数或赋Orlicz范数的Orlicz序列空间分别记为lΦ或. 他们的子空间

记为hM与.

其中

引理1.1［7］

引理1.2［7］对于任意的u∈lΦ和v∈lΨ，有

（1）当‖u‖≤1时，IΦ(u) ≤‖u‖；

（2）当‖u‖> 1时，IΦ(u) > ‖u‖；

引理1.3［7］假设函数Φ满足Δ2-条件，则对于任意一个u∈lΦ，都有

（1）‖u‖ = 1 ⇔IΦ(u) = 1；

（2）对任意的ε> 0，存在δ> 0，使得

（3）对任意的ε∈(0，1)，存在δ∈(0，1)，使得

（4）对任意的ε∈(0，1)，存在δ∈(0，1)，使得

引理1.4［7］若函数Φ满足Δ2-条件，则对任意的实数L> 0和ε> 0，存在δ> 0，使得

成立.

2 主要结果与证明

定理2.1 设k是一个正整数.为k-β点的充分必要条件是：

（1）Φ ∈Δ2；

（2）Ψ ∈Δ2.

证明：必要性. 对任意的实数序列x=()x(i) ，当m，n∈ℕ，m>n时，记

当函数Φ不满足Δ2-条件时，则. 此时需要考虑以下情形，即分别考虑在与不在中的点是否为k-β点.

对任意的n∈Ν都成立.

下面记i0= 0.

如此进行下去，即存在i0

为了方便，下面令

对任意的m，n∈ℕ，m>n都成立.

又因为

这与x为k-β点的定义矛盾.

取g∈K(x)，则对每一个n∈ℕ，令

则

并且

但是

这与x为k-β点的定义矛盾.

综合以上两种情形可知，在赋Orlicz范数的Orlicz序列空间中，若一个点是k-β点，那么Orlicz函数Φ一定满足Δ2-条件，即条件（1）是必要的.

下面证明条件（2）的必要性，即函数Ψ满足Δ2-条件.下面运用反证法，假设Ψ ∉Δ2，则存在正数序列yn↓0，满足且

由前面的证明可知Φ ∈Δ2，所以首先取ε= 1，则存在正整数i1∈ℕ，使得成立. 又因为，所以肯定存在j1∈ℕ，使得，并且；再取，则存在正整数i2∈ℕ，满足i2>i1+j1的同时，满足. 又因为，所以存在j2∈ℕ，使得，并且

如此进行下去，则存在一个序列i1

则对所有的n∈ℕ，有

并且

成立，因此，对每一个n∈ℕ，有，并且

因为zn∈hΨ并且函数Φ满足Δ2-条件，所以存在使得的同时满足suppxn⊂suppzn. 同样的，因为，所以存在y∈S(lΨ)，使得.下面对每一个正整数n，令

则

所以对每一个n∈ℕ，有. 从而

但是，对于任意的m，n∈ℕ，m>n，有

这与x为k-β点的定义矛盾.

充分性.根据k-β点的定义，任取ε> 0，设(xn)为S()中的任一序列，并且满足sep(xn) ≥ε. 因为Φ ∈Δ2，Ψ ∈Δ2，所以x是一个β点，又根据β点的定义可知，存在正数δ=δ(ε，x) > 0和正整数n0，使得2 -δ. 在序列(xn)中任取k- 1个元素，记为xn1，xn2，…，xnk-1，则

根据k-β点的定义可知，x是一个k-β点.

推论2.1 设k是一个正整数.赋Orlicz范数的Orlicz序列空间具有局部k-β性质的充分必要条件是是自反的.

证明：由定理1与文献［8］可知，结论是显然的.