《用比例解决问题》教学设计

文｜管天霞

【教学内容】

人教版六年级下册《用比例解决问题》。

【教学过程】

一、预学查异——创设情境，唤醒原型

师：同学们，我们已经学习了哪两种比例？

生：正比例和反比例。

师：怎样用字母表示正比例关系和反比例关系？

师：说得真好。那老师要考考你们的运用能力了。

1.判断下面两种相关联的量成什么比例？

（1）速度一定，路程和时间成（ ）比例。

（2）工作总量一定，工作效率和工作时间成（ ）比例。

（3）订阅《××报》，订阅数量和订阅总价成（ ）比例。

（4）一辆汽车从甲地驶入乙地，行驶速度和时间成（ ）比例。

生：第一题，速度一定，路程和时间成正比例。路程和时间是两种相关联的量，路程÷时间＝速度（一定），所以路程和时间成正比例。

生：第二题，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。工作效率和工作时间是两种相关联的量，工作效率×工作时间＝工作总量（一定），所以工作效率和工作时间成反比例。

生：第三题，单价一定，总价和数量成正比例。总价和数量是两种相关联的量，总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例。

师：老师有个疑问，题目中没有告诉我们单价一定啊？

生：订阅的《××报》是同一种报刊，单价是一定的。

师：你的观察真仔细，还能积极思考。第四题？

生：路程一定，速度和时间成反比例。速度和时间是两种相关联的量，速度×时间＝路程（一定），所以速度和时间成反比例。

师：为什么路程是一定的呢？

生：甲地到乙地的路程是不会变的。

师：看来你们的基础很扎实！那学习了正、反比例有什么用呢？

生：解决问题。

师：我们学习知识就是为了解决问题，那如何运用正、反比例的知识去解决生活中的问题呢？我们今天这节课就来研究用比例的知识解决实际问题。

【设计意图：用比例解决实际问题的认知前提就是要会判断两个量是否成正比例或反比例。通过给定三个量，其中一个量一定，判断另两个量是否成正比例或反比例的练习，唤醒学生已有的模型：正比例关系：（一定）；反比例关系：xy=k（一定），激活学生已有认知和经验。在题目的设计上，前两题直接告知学生一个量已经一定，学生可以很快地找到三个量的关系进而判断；后两题并没有直接告知哪个量一定，不变的量隐藏在条件中，教师通过追问帮助学困生理解和明白，为每一个学生在后续的学习中打下坚实的基础。】

二、初学适异——自主尝试，建设模型

1.出示例1：小明买6 本笔记本用了30 元，小刚想买4 本同样的笔记本，要用多少钱？

师：先思考以下三个问题，在小组里交流结果，小组长汇总成员结论，并记录在《学习卡》上。

讨论：（1）这道题中涉及哪三种量？（2）哪个量是一定的？（3）两个变量成什么比例关系？

师：哪个小组长来汇报你们组的结论？

生：题中涉及总价、数量和单价三种量。单价一定，总价和数量成正比例。

［板贴：总价÷数量＝单价（一定）］

师：现在你能用比例的知识解决这道题目吗？

出示差异要求：（1）直接列比例解答；（2）有困难的可以向老师示意，求助智慧锦囊；（3）完成后请思考：这样列式的理由是什么？

智慧锦囊：（1）判断比例：___是一定的，所以___与___成___比例关系；（2）数量关系：小明总价∶数量＝小刚总价∶数量；（3）根据数量关系列出比例方程。

2.学生独立完成。

（学生尝试写出算式并解答，教师巡视观察，指导有困难的学生，并及时送上智慧锦囊）

【设计意图：建构主义认为，学习是学生自己建构知识的过程。知识与技能不应该是被动接受，而应是一种学生能够自己尝试探究、领悟和发现的。教师应当放手让学生自主尝试学习，让学生在动手、动脑中尝试解决问题，这样学生构建的数学模型才深刻，不容易被遗忘。用正、反比例的知识列方程解决实际问题是这节课的新授内容，学生已有的认知经验是学过比例后，用比例的知识列方程解决实际问题。如果直接放手让学生自主尝试解决会有很大难度，大部分学生不会想到用正比例的知识列比例方程解决问题。鉴于此，在例题的选择上进行了改变，呈现的三个量是学生所熟悉的，因为这节课的重点是用正、反比例的知识解决问题，如果在判断正、反比例上设置难度，会阻碍部分学生建立本节课的模型；教师通过三个问题驱动，让学生在小组中讨论，在交流中，学生的思维得到了碰撞，学优生帮助学困生理解，初步建立解决这类问题的一些步骤和方法。通过这样的处理，学生有了一定的认知基础，这时教师放手让学生独立自主尝试解决，并提出差异要求。差异要求中对于潜能生、学困生可以向教师示意，教师给予智慧锦囊帮助；对于优等生提出了思考这样解答的依据的要求，其目的在于提高他们对思路的表述和整理能力。此时每位学生都在经历自我感受模型，自我建设模型，完整经历思考、分析和解答问题的过程，也为后面优化模型打下了坚实的基础。】

三、研学导异——抽象本质，优化模型

1.提炼新模型。

（1）师生交流，提炼模型。

师：谁来汇报你的算式？

生：解1：设要用x 元，30∶6＝x∶4。

生：解2：设要用x 元，6∶30＝4∶x。

师：为什么可以列成这样的等式？每个比值的意义是什么？

生：解1 比值表示单价，单价一定，比值相等，所以我们列出了这样的等式。

生：解2 比值表示1 元可以买几本笔记本。

师：我们平时不这样说，所以结合这道题的情境，哪种比例更合理？

生：第一种。

师：（擦掉第二种）这个问题我们用正比例的知识解决了，你有什么方法检验自己的答案是否正确呢？同桌交流。

生：将结果代入原题来检验。

师：老师相信你们肯定还有其他的检验方法，那你们都检验对了吗？（举手大面积反馈正确率）你们能谈一谈解决这类问题的方法吗？（小组交流）

生：①找出题目中相关联的量；②判断题目中两种相关联的量是哪种比例关系；③设未知量为x；④列出方程；⑤解答；⑥检验后写出答案；⑦答句完整。

【设计意图：数学家波利亚指出：“对一个特例之所以要进行这样周密的描述，其目的就是为了从中提出一般的方法或模式。”在自主尝试学习后，学生初建的模型各有差异，我们通过小组交流和集体交流，在交流的过程中，层次不同的学生在互换思想、相互激发的基础上，加深对自建和他建模型的理解和完善，从而突破这节课的教学难点。教师在学生的交流中聆听，适时指导并关注学困生的学习。】

（2）学生自主尝试解决例2。

出示例2：一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行驶80 千米，需要行驶9 小时；如果每小时行驶90 千米，需要行驶几小时？

师：谁来汇报你们的算式？

生：解：设需要x 小时，80×9＝90x。

师：这里为什么列成乘积相等的算式解答？

生：路程一定，速度和时间成反比例。

师：乘积表示的意义是什么？

生：路程。路程一定，所以乘积就相等。

师：通过解决这个问题，我们又了解到了用反比例的知识也能帮助解决生活中的实际问题。

2.对比练习，固化模型。

师：那接下来的题目老师不但要求你们写得对，还要求你们写得快，有信心吗？

生：有。

师：独立思考，用比例的知识列式不计算。

（1）张大妈家上个月用了8吨水，水费是12.8 元；李奶奶家用了10 吨水，李奶奶家上个月的水费是x 元。

（2）一个办公楼原来平均每天照明用电100 千瓦时，改用节能灯以后，平均每天只用电25 千瓦时。原来5 天的用电量现在可以用x 天。

师：谁来汇报？

生：12.8∶8＝x∶10。

生：100×5＝25x。

师：正确的举手。

师：用比例解决实际问题的关键是能正确找出题中的两种相关联的量，判断它们成哪种比例关系，然后根据正反比例的意义列式解答。

【设计意图：通过今天所学的用正比例和反比例的知识解决实际问题的对比，让学生明白解决此类问题的相同点是要先判断哪个量一定，另两个量成什么比例，都要列出比例方程；而不同点在于正比例关系的比例方程的等量关系是比的比值一定，反比例关系的比例方程的等量关系是乘积一定。不同之中又有相同之处，解决这类问题都要列比例方程解决。通过这样的对比设计，使学生初步认识到用比例解决实际问题的结构特点，加深对等量关系的理解，初步掌握解题方法，在原有数学模型的基础上初步建立本节课的数学模型。】

3.新旧对比，提炼模型结构。

出示：甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行，3 小时后两车还相距17 千米。甲每小时行驶45 千米，乙每小时行驶多少千米？

师：你们是怎么想的？

生：解：设乙每小时行驶x千米，45×3＋3x＋17＝272。我是这样想的：甲的路程＋乙的路程＋相距的路程＝总路程。

师：说得真好。还有其他不同的想法吗？

生：解：设乙每小时行驶x千米，（45＋x）×3＋17＝272。我是这样想的：甲、乙行驶的路程＋相距的路程＝总路程。

师：真厉害。你们都写对了吗？（大面积反馈正确率，对做错的学生纠错）

师：这题我们是通过设未知量为x 来解决的，前面几题也是通过设未知量为x 来解决的，那在解法上有什么不一样的地方呢？

师：这道题是用比例的知识解决的吗？

生：不是。是我们以前学过的列方程解决实际问题。

师：我们以前学解方程的一般步骤是什么？

生：①找出题目中的等量关系；②设未知量为x；③列出方程；④解答；⑤检验后写出答案；⑥答句完整。

师：而用比例的知识解题时，第一步找的是两种相关联的量，然后判断它们的关系，这两步老师可以合并为一句，那就是找出题中的正或反比例关系。虽然这几道题我们都是设未知量解决的，但我们依据的关系却不一样，所以我们设未知量解题时，一定要认真分析题目，选择恰当的关系来解答。

【设计意图：通过以前所学习的列方程解决实际问题的练习，在交流中让学生深刻地体会到此题的模型和今天所构建的模型的本质区别。通过和例题的对比，学生明白了虽然都是用列方程解决实际问题，但在寻找等量关系时却有本质的区别，用比例解决实际问题要先判断是否有一个量一定，另两个量成什么比例，这是以前列方程解决实际问题的步骤所不需要的。这样对比设计使今天的数学模型定型，并能让所有学生认识到建模成功。】

4.变式练习，优化模型。

出示：某加工厂做一批零件，计划每天加工200 个，20 天可以完成；但实际每天多加工50 个，需几天完成？（用比例解答）

师：你们是怎么解答的？为什么这样解答？

生：解：设需要x 天完成，（200＋50）x＝200×20。因为工作总量一定，所以工作效率和工作时间成反比例。

师：这题和开始的几题又有什么不一样的地方？

生：之前的题目，两组相关联的量中只有一个量是未知的，而这道题中有两个量是未知的，我们需要先求出一个未知量。

师：老师发现你们的思维真敏捷，复杂的比例问题都难倒不了你们。

四、拓学展异——深化运用，衍生模型

1.出示题目。（部分题略）

必做题：工程队修一条水渠，如果每天工作6 小时，12 天可以完成。如果每天工作8 小时，多少天可以完成任务？（用比例解）

选做题：（★★★）请在“数学超市”中选购条件编一道比例应用题：（1）计划每天生产30 辆；（2）实际每天生产40 辆；（3）计划25 天完成；（4）实际20 天完成；（5）计划一共生产了900 辆；（6）实际一共生产了1000 辆。

2.交流必做题。（选做题交流略）

指名汇报，大面积反馈。（关注写错的学生）

师：你是怎样列式的？

生：12×6＝8x。

3.课堂总结。

师：今天这节课你有什么收获？用比例的知识解决问题的关键是什么？解题的步骤是什么？

师：通过今天的学习，在今后的解题过程中你们又多了一种可选择的方法。

【设计意图：从照顾学生差异角度来看，在此环节为学生提供了必做题（保底）和选做题（展异）。必做题面向全体，是要求所有学生必须掌握的，通过大面积及时反馈了解学生运用“模”的能力。选做题的设计依然立足儿童，让每位学生都能有选择挑战的机会，通过自主选择完成以及大面积及时反馈了解学生衍生“模”的能力。对于三星题，我们采用同质互查的方式，让思维层次相近的学生在课后一起交流、一起思维互动，实现共同提升的目的。】