如何正确运用χ2检验——评分检验与SAS实现

胡纯严 ，胡良平 ，2*

（1.军事科学院研究生院，北京 100850；2.世界中医药学会联合会临床科研统计学专业委员会，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在构建广义线性回归模型的过程中，常涉及参数的检验问题，例如：检验部分或全部回归系数是否为0，检验单个效应是否不在回归模型中以及检验平行线假定是否成立。在统计学上，实现前述检验的具体方法有评分检验、似然比检验和Wald检验。本文仅介绍评分检验及其SAS实现。

1 基本概念

1.1 评分函数

设资料由观测值 x1，x2，…，xN组成，并假定可用依赖于参数θ的概率模型f（x；θ）来描述该资料。当变量x只有有限个可能的取值代入函数f（x；θ），从而指定每一个输出的概率；当存在无穷多个输出f（x；θ）来指定概率密度函数时，对数似然函数可表示如下：

此时，评分函数［1］表示如下：

在式（2）中，“'”代表求函数的导数；若θ̂是θ的最可能值，则满足u（θ̂）=0。

1.2 评分检验统计量的定义

设θ0是θ的真值，则评分就具有均值为0、方差为i（θ0），则下式定义的检验统计量Z服从标准正态分布：

基于式（3）定义的检验被称为评分检验［1］。文献［1］还给出了Wald检验统计量，见下式：

在式（4）中，θ̂是θ的最大似然估计值，θ0是θ的真值，j-1是θ的方差。

1.3 评分检验统计量的用途

在评分检验统计量中，参数θ可以是一维的，也可以是多维的（被称为参数向量）。在统计学上，经常将3种检验统计量（即评分检验统计量、似然比检验统计量和Wald检验统计量）［1-3］同时呈现出来，其主要用途如下：检验部分或全部回归系数是否为0、检验单个效应是否不在回归模型中、检验平行线假定是否成立以及检验线性假设是否成立等。

2 评分检验统计量的种类

2.1 一般评分检验统计量

设回归模型中的回归系数向量β具有K个分量，在SAS/STAT的PHREG过程中，给出的5个检验统计量（即似然比检验统计量、一般评分检验统计量、Wald’s检验统计量、稳健评分检验统计量和稳健Wald’s检验统计量）都服从自由度df=K的χ2分布。这5种检验都可以用于检验回归模型中全部回归系数是否都等于0，即H0：β=0。其中，一般评分检验统计量的定义有以下两种表达形式，见式（5）、式（6）［2-3］：

2.2 稳健评分检验统计量

在SAS/STAT的PHREG过程中，稳健评分检验统计量的定义［2］如下：

式（7）中，L0i是第i个受试者在β=0处的评分残差；也就是说，L0i=Li（0，∞），得分过程L（iβ，t）的定义如下：

向量L̂i≡Li（β̂，∞）是第i个受试者的得分残差。

【说明】在SAS/STAT的PHREG过程中，介绍了4种残差，分别是边际残差、偏差残差、Schoenfeld残差和得分残差。上式中涉及其他一些变量或符号，参见文献［2］，此处从略。

2.3 残差评分检验统计量

2.3.1 检验部分或全部回归系数是否为0

在累积和广义（或扩展）的logistic回归模型中，假定因变量有K（i=1，2，…，K）个类别，共同的自变量有S个。也就是说，在每一类中拟合logistic回归模型时，都涉及一个截距项和S个自变量（注：指尚未筛选掉某些自变量）。为了检验部分回归系数是否为0，可以采用残差评分χ2检验。

让g（β）代表对数似然函数关于参数向量β的一阶偏导数向量；让H（β）代表对数似然函数关于参数向量β的二阶偏导数矩阵。也就是说，g（β）是梯度向量，而H（β）是哈森矩阵。让I（β）代表“-H（β）”的期望。考虑一个无效假设H0，让β̂H0是无效假设条件下β的最大似然估计值（MLE）。在SAS/STAT的LOGISTIC过程中，残差评分检验统计量的定义如下：

式（9）中的χ2RS渐近服从自由度为df的χ2分布。其中，参数向量β、无效假设H0与H0对应的向量β和自由度df都会随着因变量的具体情形不同而有所变化。具体地说，有以下两种情形。

情形一：累积反应变量模型或称多值有序因变量模型。

参数向量β=（α1，α2，…，αK，β1，β2，…，βS）'；无效假设 H0：βt+1=βt+2=…=βS，t

情形二：广义反应变量模型或称多值名义因变量模型（当K=2时为二值反应变量）。

参数向量 β =（α1，α2，…，αK，β'1，β'2，…，β'S）'；其中，β'i=（βi1，βi2，…，βiS）；i=1，2，…，K；无效假设 H0：βi，t+1=βi，t+2=…=βi，S，t

2.3.2 检验单个效应是否不在回归模型中

解决问题的基本思路：假定有两组自变量，A组中有S个自变量（可构建一个全模型）；B组中有S-1个自变量（可构建一个简化模型）；B组中的全部自变量都包含在A组中。将A组比B组多出来的一个自变量记为xt［t∈（1，2，…，S）］，于是，将A组与B组自变量及其资料分别代入式（4）计算，便可得到两个χ2值，它们具有不同的自由度。求出这两个χ2值之差，再基于它们的自由度之差，就可依据χ2分布求出尾端概率。

自由度的确定方法：若是多值有序因变量，全模型与简化模型的自由度之差等于1；若是多值名义因变量，全模型与简化模型的自由度之差等于K（当K=2时为二值因变量的情形）。当检验结果为P<0.05，表明不在B组中的自变量xt［t∈（1，2，…，S）］具有统计学意义；反之亦然。

2.3.3 检验平行线假定是否成立

设因变量Y为多值有序的且水平数为K+1（即水平数大于2），让因变量Y的取值分别为1，2，…，K，K+1。假定有S个自变量，在没有平行线假设的条件下，一般的累积logistic回归模型可用下式表达：

在 式（10）中 ，g（·）是 连 接 函 数 ；βi=（αi，βi1，βi2，…，βiS）'是Y=i条件下的一个未知参数向量，它的分量分别是一个截距、S个斜率。这个一般累积模型的参数向量可表示成：β=（β'1，β'2，…，β'K）'，它是由K个分量组成的一个向量，而每个分量就是前面所呈现的向量［即βi=（αi，βi1，βi2，…，βiS）'］。

给定平行线的无效假设：H0：β1m=β2m=…=βKm，1≤m≤S。回归系数β有两个下标，第1个下标代表因变量Y的取值或水平代码，第2个下标代表自变量的顺序编号。若用语言描述上述无效假设H0，即在因变量Y的K个水平条件下的K个logistic回归模型中编号相同的自变量具有相等的回归系数。也就是说，K个logistic回归模型仅截距不同，自变量线性组合中只有一组共同的回归系数。

用统计学语言表述如下：让 β1，β2，…，βS代表共同斜率系数，让 α̂1，α̂2，…，α̂K和 β̂1，β̂2，…，β̂S分别代表截距参数与斜率参数的最大似然估计值。那么，在H0成立的条件下，β的最大似然估计见式（11）：

此时，与无效假设H0对应的残差评分χ2检验统计量见式（12）：

【说明】对平行线假定的检验可视为对参数有线性约束的检验（简称约束检验［6］）的特例，后者常被冠以拉格朗日乘数检验（参见下文）。

2.4 广义评分检验统计量

让β͂为在限制条件L'β=0下从广义估计方程中求解得到的回归参数；让 S（β͂）为在 β͂时广义估计方程的值。Boos和Rotnitzky与Jewell描述了在广义估计方程中将评分检验应用于检验L'β=0，其中L'是用户指定的r×p阶比较矩阵。于是，广义评分检验统计量［2］见下式：

在式（13）中，∑m是基于模型的协方差估计值，∑m是经验协方差估计值，T服从自由度df=r的χ2分布。

2.5 拉格朗日乘数（或约束评分）检验统计量

在SAS/STAT的GENMOD过程中的定义如下：当用户给回归模型中的参数施加某些限制（例如：NOINT，即强制性要求截距为0；又例如：NOSCALE，即强制性要求某些定量随机变量的概率分布中的尺度参数取固定值）时，需要有相应的检验方法来评价这些限制的有效性。这个检验方法被称为拉格朗日乘数检验或约束评分检验。检验统计量［2］见式（14）：

式（14）中，S是在与被限制参数对应的限制的最大值点上估计的评分向量的成分；而V=I11-I12I-122I21，其中矩阵I是信息矩阵，下标中的1指被限制的参数，下标中的2指未被限制的其他参数。

【说明】因篇幅所限，在SAS/ETS的ENTROPY过程中的定义、在SAS/ETS的MDC、MODEL和QLIM过程中的定义以及在SAS/ETS的PANEL过程中的定义从略。

3 实例与SAS实现

3.1 问题与数据

【例1】一项关于成年人心理健康问题的研究，调查了某城市40例成年居民的心理健康状况（1=无心理问题，2=存在轻微症状，3=存在中度症状，4=存在精神损害），考察的两个原因变量分别是社会经济地位（0=低，1=高）和生活事件评分，资料见表1［4］。试分析心理健康状况与两个原因变量的关系。

表1 成年人心理健康状况调查资料

【例2】随机纳入30例在某医院就诊的仅有胸闷症状的非器质性心脏病患者，收集患者在24小时中的早搏数（y），试问早搏是否与吸烟（x1）、性别（x2）和喝咖啡（x3）有关。资料见表2［5］。

表2 某医院伴有胸闷症状的非器质性心脏病患者情况

3.2 分析与解答

3.2.1 对例1的分析与解答

【分析与解答】设所需要的SAS程序如下：

【SAS输出结果及解释】

第1个过程步的主要输出结果：

以上是模型中含有截距项和自变量life时的比例优比假设的评分检验结果，也被称为平行线假设检验结果。因χ2RS=0.8865，df=2，P=0.6419，说明资料满足构建logistic回归模型的前提条件。

以上是采用3种检验方法检验此时的logistic回归模型（含截距项和一个自变量life）是否成立，由于3种检验结果均有P<0.05，说明此时的logistic回归模型成立。

以上是逐步选择汇总，从第2列与倒数第3列可知，选择自变量进入回归模型时采用的是评分χ2检验；而从第3列与倒数第2列可知，删除自变量时采用的是 Wald χ2检验。

第2个过程步的主要输出结果：

以上输出的是平行线假定的检验结果，因P=0.6761>0.05，说明资料满足构建logistic回归模型的前提条件。

以上是采用3种检验方法检验此时的logistic回归模型［含截距项和两个自变量（life和society）］是否成立，由于3种检验结果均有P<0.05，说明此时的logistic回归模型成立。

以上输出的是线性假设检验结果。第1行的结果说明0.5×β1+1×β2=0的假设成立；第2行的结果说明 β1=β2的假设不成立。这里采用的是 Wald χ2检验，而不是似然比χ2检验和拉格朗日χ2检验。

【说明】为节省篇幅，以上仅呈现了与评分检验有关的输出结果，故不适合给出统计结论与专业结论。

3.2.2 对例2的分析与解答

【分析与解答】设所需要的SAS程序如下：

【SAS输出结果及解释】

第1个过程步的主要输出结果：

以上输出的是拉格朗日乘数检验结果，χ2LM=8.6315，P=0.0017，说明资料存在过度离散现象，不适合直接拟合Poisson分布回归模型。

第2个过程步的主要输出结果：

以上输出的是拉格朗日乘数检验结果，χ2LM=0.9727，P=0.1620，说明此时的资料（不包括自变量x3）不存在过度离散现象，可直接拟合Poisson分布回归模型。

第3个过程步的输出结果与评分检验无关，为节省篇幅，此处从略。

【说明】为节省篇幅，以上仅呈现了与评分检验有关的输出结果，故不适合给出统计结论与专业结论。

4 讨论与小结

4.1 讨论

在进行广义线性模型［6］分析，特别是进行多重logistic回归模型［7-10］分析时，在多个环节上需要对参数进行假设检验，有时还需要在参数处于特定约束条件下对其进行检验。通常涉及3种检验，即评分检验、似然比检验和Wald检验；当有约束条件时，其检验被称为约束检验［6］或拉格朗日乘数检验［2］，但它们也被称为评分检验［2］。当在某种场合下同时应用以上提及的多种检验方法时，检验结果可能不尽相同，但通常情况下不会出现截然相反的结果。事实上，在上述提及的几种检验统计量的推导过程中，一般都基于大样本条件下给出渐近的结果，而不是精确计算的结果。

4.2 小结

本文介绍了与评分检验有关的基本概念，介绍了5种评分检验统计量，即一般评分检验统计量、稳健评分检验统计量、残差评分检验统计量、广义评分检验统计量和拉格朗日乘数（或约束评分）检验统计量。在介绍残差评分检验统计量这部分内容时，详细呈现了在构建广义线性模型过程中的3种适用场合；在介绍拉格朗日乘数（或约束评分）检验统计量这部分内容时，详细呈现了此种检验统计量的多种不同定义形式，该检验主要用于对参数有线性约束的场合。最后，基于两个实例并借助SAS软件，说明了评分检验的常用场合和呈现形式。