基于考生偏好和矩阵博弈的高考志愿填报研究

赵小明，孙晓璇

(1.云南财经大学，云南 昆明 650221；2.云南机电职业技术学院，云南 昆明，650203)

高考在我国经济社会活动中关注度极高，因其对学生、家庭及社会都产生重大影响.随着平行志愿的普及与高校招生综合改革实践的推进，促进高等教育均等化、公平化及中等学校素质化教育的协同发展.但在实际中往往还存在考生与高校资源错配，导致高校教育资源和考生生命资源的浪费，没有实现良好的对接.尤其在新高校招生综合改革的推动下，高考志愿填报也备受学者们和商界关注，足见考生志愿填报极其重要而关键.聂海峰(2005)《中国高考招生录取机制——一个巨大的协调博弈》[1]、陈国基(2014)等的《高考志愿填报者的报考行为研究》[2]，沈小娟(2014)的《基于统计模型的高考志愿填报决策分析》[3]、刘晓红(2018)的《基于考生偏好函数模型的高考志愿填报》[4]、聂海峰(2010)《高考志愿填报的不完全信息博弈》[5]等，从录取机制、数据分析、考生偏好、博弈论等方面对报考者的行为属性、录取概率及博弈对策进行分析，试图破解志愿填报难题，但据现实而言却存在一定的实践困局和实效弱化.本文通过考生偏好数据量化，引入矩阵博弈理论，实现对博弈竞争者的均值估计，参照制订填报策略，提高考生志愿填报满意度.

1 基本概念

我们根据行为经济学中的的偏好理论[6-8]，释义为在面临确定选项和风险选项时大多数人都表现出了风险规避、安全寻求.在不确定决策领域,当面临风险选项和模糊选项时，大多人又表现出了模糊规避风险寻求.在此我们提出考生偏好这一概念，具体指考生在填报志愿过程中，对院校、专业、城市的感知度及认同度.深度解析考生偏向对志愿填报的重要影响及由此带来的影响因子研究[9-11].

博弈论[12-13]，又被称为对策论(Game Theory)，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科.博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法.博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略.

矩阵博弈[14-18]，也称“赢得矩阵”、报酬矩阵、收益矩阵、得益矩阵，是指从支付表中抽象出来由损益值形成的矩阵，用来描述两个人或多个参与人的策略和支付的矩阵.在本文中主要涉及志愿填报竞争对手之间的博弈收益描述.

2 考生偏好函数

定义1 高校位差偏离度.设高校位差偏离度x，第ti年控制线位次为C(ti)，为ti当年高考试题难易程度、高考成绩个体分布及高校招生计划的重要精度参数.第ti年高校位次U(ti)，为ti当年某一高校最低录取分所对应的位次区间.则高校位差偏离度x表示为：

(1)

n:为周期参数，n∈Z.默认值取5.为消除量纲与数量级差的影响，本文使用线性比例法将x进行数据线性转化，取值范围(0,1).

定义2 考生偏好函数.设考生偏好函数为P(x)，则有：

P(x)=x×a×λ.

(2)

式(1)中，a为考生偏好集中度系数.偏好影响x存在周期效应，取U(ti)→U(tn)，n∈Z的标准差作为平衡系数，特征表现为U(ti)的偏向集中度.

即，a=σ(x1,x2,x3,...,xn).当a指标趋分散时，一般代表考生偏好存在分歧.反之，表示偏好一致.使用线性比例法将a进行数据线性转化.

λ为考生偏好冰点系数.考生偏好x存在周期性和延迟性带来的偏差.λ与取U(ti)→U(tn)(n∈Z)的志愿征集数据相关，使用线性比例法将λ进行数据线性转化.

据此，得到P(x)，并进行归一化处理.P(x)趋于0，表明考生偏好越强.反义，考生偏好越弱.

2.1 考生偏好

2.1.1 数据准备

本文数据来源于云南省招考院网站公布的2014～2018年云南招生录取数据及各高校在官网发布的招生计划.字段涵盖院校名称、录取最分、录取最高分、高校录取位次(转换)、批次线及对应的录取控制线位次(转换、对照)、历年考生人数等与考生偏好相关的字段.

表1 考生偏好基础表(1)Table 1 Basic table of candidates' preferences(1)

表2 考生偏好基础表(2)Table 2 Basic table of candidates' preferences(2)

2.1.2 考生偏好测算与分析

依据已经准备的数据集并库化，按公式(1)、公式(2)求解考生偏好函数影响及偏好函数，整理结果如表3所示.

表3 考生偏好基础表(3)Table 3 Basic table of candidates' preferences(3)

2.1.3 考生偏好分布可视化

基于第3部分考生偏好的值域，可初步划分为偏好特征敏感度.

表4 考生偏好分布Table 4 Distribution of candidates' preferences

经试验结果显示考生偏好分布，如图1所示.

图1 考生偏好分布图Fig. 1 Distribution of candidates' preferences

3 志愿填报矩阵博弈

3.1 高校基准位次公式

为建立志愿填报模型，首先需要构建高校录取位次估计函数，在此提出如下计量公式如下：

(3)

n：高校招生年限.

Q -：考生i的n-1个竞争对手的高考位次均值.

f：引入考生偏好系数f，(0

3.2 竞争对手均值估计

鉴于，考生Li与高校实际录取位次必然存在误差，设S表示此误差，则有：

S=Li-E.

(4)

理论上，考生Li与高校实际录取最低位次的误差为0时，考生Li的收益为最优.(仅考虑录取结果，不涉及专业的匹配性)，则可推导出.

(5)

据此，可初步实现对竞争对手位次均值估计.

3.3 矩阵博弈模型

(6)

表5 志愿填报博弈策略Table 5 Game strategy for voluntary reporting

表5中，如果考生i的高考位次比竞争者的平均位次低，则考生i被录取(有β=1)；反之，则考生i被拒绝(有=0)，而竞争者被录取(有1-β=1).考虑到志愿填报为组合填报模式，其填报组合存在最优解.需对(6)中单一最优解进行系数调节，以形成最佳填报策略组合.

3.4 算例分析

算例验证，以云南省为例.2017年，云南在高考录取模式实行平行志愿，本文实例仅考虑文理科，考生一本可填报志愿5所，二本可填报志愿 10所.

算例1 求解报考上海财经大学(文)的博弈矩阵.经公式(1)、公式(2)，计算得到上海财经大学的考生偏好值为0.013285.

表取值表(n=5)

通过公式(4)、公式(5)，通过假定考生λ1位次为119，确定竞争对手位次均值估计为128.39.根据志愿填报博弈矩阵模型可解β=0.8623.可见考生λ1被上海财经大学录取的概率较高，可以填报.2018年，上海财经大学实际最低录取位次为103，偏差为(128.39-103)/103=24.65%.

算例2 求解报考南京大学(理)的博弈矩阵.经公式(1)、公式(2)，计算得到南京大学的考生偏好值为0.003805.

表取值表(n=5)

通过公式(4)、公式(5)，通过假定考生λ2位次为395，确定竞争对手位次均值估计为408.10.根据志愿填报博弈矩阵模型可解β=0.9681.可见考生λ2被南京大学录取的概率极高，可以填报.2018年，南京大学实际最低录取位次为417，偏差为(408.10-417)/417=2.13%.

经分析，在高校录取位次波动收窄的前提下，基于考生偏好和矩阵博弈的预测模型的效果极好.而在高校录取位次存在异常值时，预测值也同样引发波动，偏差有所放大.

4 结束语

至此，本文从考生偏好分析入手，通过对考生偏好函数的定义，用函数和数据分析方法确定考生偏好量化指标，进而实现对考生与竞争者志愿博弈的模型化.本文还给出了计算竞争者位次均值的计算方法，实例证明在考生填报决策中具有很大的参考价值.