基于问题解决的小学数学信息处理方法培养例析

翁日尔

（福鼎市实验小学，福建 福鼎 355200）

《义务教育数学课程标准（2011 版）》对“问题解决”明确提出要求：“初步学会从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”其中“获得分析问题和解决问题的一些基本方法”的基础与前提，就是要让学生习得信息的处理方法，逐步形成较成熟的信息处理策略，以提升问题解决能力。

但在日常教学中发现，学生对问题情境所呈现的信息读取能力弱，观察问题情境时大都是凭着自身固有的阅读能力获取信息、理解题意，基本未掌握正确的处理信息方法，对分析问题之前的信息处理方法的指导重视不足。实际上，在指导学生分析问题之前，对数学信息处理的方法指导是非常有必要的，它不仅能提升学生的问题解决能力，也能培养学生“以数学的眼光看待世界”的素养。

一、列表——梳理对应信息

列表是收集、整理信息的常用方法，是分析问题的重要方法，也是学生问题解决过程中重要的思维方式。当问题情境呈现的信息比较多时，就需要将对应的信息梳理、排列出来，便于找到其中的关联；或是将较复杂的信息按一定的标准分类，提炼问题中同一类的已知条件和所求问题，便于抽象出它们的共同特征。这样的处理过程，比较适合用列表的方法。经过列表处理后，可较清晰地理解题意，学生也较容易发现数量间的关系。

（一）排列对应信息，理清数量关系

问题情境大都是用文字叙述的形式呈现。虽然语言描述、文字叙述是常用的信息传递方式，但这样的方式传递的信息可能比较杂乱，数量关系大都不突出，逻辑、线索不清晰，不利于学生抓住主要信息、分析问题、理清关系。［1］而列表就是对这种情况中的信息进行重新整理，将信息对应排列，变叙事性陈述为逻辑性表达，变单线思路为多线思路。

例1.某车间3 台机器5 小时可加工零件300 个零件，照这样计算，4 台机器几小时可加工零件480 个零件？

此题属于“双归一”问题，解决问题的关键是找到单一量，难点是所求问题需要用到哪个数量关系、所列算式每一步表达什么意义。教师可引导学生先将信息按一定的对应关系排列好（如图1），从第一行信息可得出“每台每小时加工零件的个数”，形成表格（见图2），再根据数量关系“每台每小时加工的个数×台数×小时数=总个数”解决本题。

图1

图2

（二）归类对应信息，促进有序思考

分类的过程是不断寻找标准，让学生体会属性，抓住本质，对事物进行有序划分和组织的过程；［2］让学生逐渐经历由显性的标准到隐性的标准，再到关系化的标准，由表及里、由浅入深、层层推进的思维过程；也是对事物共同属性的抽象过程。这种将对应信息按一定的标准进行分类的方法，可以让学生有序思考，有利于找到解决问题所需要的关联信息、数量关系，方便问题的解决。

例2.从若干张5 元币、2 元币、1 元币（每种至少有10 张），拿出10 元钱买钢笔，一共有多少种不同的拿法？

经过梳理后，所有信息按一定的顺序分门别类，得到的表格（如表1）呈现出所有分类信息，一目了然，省却大量繁杂的文字，问题解决过程水到渠成。

表1

列表是将关联信息对应排列后，便于对比观察，理清数量间的内在联系。表格是分类信息的外在表现形式，在很多情况下，只要将信息对应排列，不画出表格框线，也是列表策略的一种内在体现。

二、图示——具化抽象信息

几何直观能力［3］是人们利用实物、形体模型和图形，生动形象地描述几何或者其他数学问题，展开丰富多彩的空间联想，直观地反映和揭示问题思路，形成表象，从而有效解决问题的一种认知能力。小学生的思维以具体形象思维为主，所以，几何直观能力是思考数学问题、发展数形结合思想的基础，是学生必备的一种基本数学素养。对问题情境进行信息处理，几何直观通常通过图示来体现。常见的图示有线段图、示意图、模拟图等，其主要作用就是通过图示来描述、分析数量关系，将较繁杂数学信息以简洁化、形象化，理清思路。线段图比较常见，应用也比较广泛，下文重点介绍一些比较典型的图示:

例3.五人一起参加象棋比赛，每两人之间比赛一盘。甲乙赛了4 盘，乙赛了3 盘，丙赛了2 盘，丁赛了1 盘，问戊赛了几盘？

此问题的各项信息之间不存在必然的数量关系，学生很难用已掌握的数量来列式解决问题。即使用枚举法一一列举各种可能，也是相当繁琐的过程。而采用图示法（如图3），既能形象地表达出比赛的过程，还能在具体盘次的推理中得到问题的答案。

图3

例4.平均数问题：两组工人加工零件，甲组有30 人，人均加工60 个零件。乙组有25 人，共人均加工数比甲乙两组平均数多6 个。两组工人平均每人加工多少个零件？

此为比较复杂的平均数问题，不能直接用“两组总数÷两组总人数”的数量关系解决，只能用“移多补少”的方法，显然比较复杂，需要用图示将其中的关系直观呈现出来。将较复杂的平均数问题用图示法呈现（如图4），可以让学生比较清楚地看出：可以将乙组25 人比两组平均数多的（25×6=150）个，补到甲组距离两组平均数不足的部分，得出甲组平均数比两组平均数少（150÷30=5）个，这样就能算出两组平均数是（60+5=65）个。

图4

比较有趣的是，此图示不仅直观呈现出问题情境的所有信息，还将平均数问题转化为平面图形面积的问题，直接发展了学生的几何直观能力，将抽象的观念、内容、方法直观化、具象化，促进学生理解数学的本质和思想。

三、增减——明晰关键信息

本文前言中提到的学生容易忽略关键信息，或是找不到问题情境中的主要信息的现象，很重要的原因是有些问题情境呈现的信息偏多或偏少，学生不容易找到关键、有用的信息，造成解决问题的困难。因此，可以引导学生对已有信息做一些必要的增补、删减，使信息更完整、更清晰、更典型。

（一）增补隐性信息

受小学生认知基础与注意力水平的限制，他们关注的大多是问题情境中的数字信息，对文字叙述所关联的语境、语言表达背后的意图疏于关注或难以深入分析。比如“老师带着20 位同学去公园玩”解决“购票”问题时常常只计20 人而忽略了老师。同样，一些叙述比较简练或在特殊语境中的概括性语言，对其背后隐藏的一些关键信息忽略或误读。

例5.水结成冰体积增加1/11，冰化成水体积减少几分之几？

解决“分数、百分数问题”，最关键的就是要找到单位“1”的量。本题所呈现的信息精炼，但不是诸如“一种量比另一种量多（少）几分之几”之类典型分数问题的叙述方式。那么，教师应引导学生增补适当的信息，使之叙述方式更典型。增补如下：“水结成冰，冰的体积比水多1/11；那么，冰化成水后，冰的体积比水减少几分之几？”这样就比较容易找到单位“1”的量，就找到了解决问题的关键。

（二）删减——去除冗余信息

有些问题情境追求还原生活环境，在叙述上比较详细、具体，弊端就是导致学生摸不清关键词，找不到重点内容；或者，有些情境故意设置了一些不必要的冗余信息，让学生从中搜取有用的必要信息。因此，教师可指导学生简化已知条件、提炼关键信息。

例6.A、B 两人，从相距20km 的两地同时出发相向而行。A 的速度是6km/h，B 的速度是4km/h。倘若陪同A 一起出发的还有一只小狗，小狗的速度是8km/h，其路径方向也是朝向B，当小狗遇到B 后便立刻回头去找A，在碰到A 之后，又掉头回去跑向B，直到A 与B 两人相遇，求小狗一共跑了多少km？

对此，教师应当先指导学生进行已知信息的简化，通过分析可知，此问题除了A、B 外，还增加了一只小狗，而小狗在此过程中所花费的时间实际上就是A 与B 两个人相向而行所消耗的时间，所以教师引导学生首先去思考A 与B 两人相遇需要花费多长时间，然后根据“时间=路程÷速度”可得到所需时间。这样在求解小狗所跑的路径长度就变得简单多了。已知:A、B 两人相遇的时间=A、B 两人经过的路程之和÷A、B 两人的速度之和，即20÷（6+4）=2h;小狗的速度是8km/h，小狗跑的路程=小狗的速度×所花费的时间,而小狗所跑的时间实际上就是A 与B 相遇所花费的时间。由此可知，小狗跑的路程就是8×2=16km。在此例题中，教师通过引导学生进行题目简化，进而整理出已知条件与关键点，通过求解A 与B 相遇所花费的时间中完成问题的解答。

四、架构，沟通关联信息

数学各知识点之间都有内在联系，具有结构层次性。学习新知时，教师应引导学生将相关的、零散的已有知识唤醒并加以归纳、整理，使之条理清晰、纲举目张。学生学会画架构图或思维导图、关系图，有利于联结知识间的关系，将散落的知识点“串成一条线”，将知识结构化，培养问题解决的能力。

如在学习“折扣问题”时，学生对于诸如“进价（成本价）”“售价”“定价”“优惠价”“利润”之类的概念容易混淆，进而严重影响了问题解决。因此，教师很有必要引导学生基于实例架构一个关系图（如图5），以结构化的思想引导学生厘清各个概念、沟通关联信息、理清数量关系。

图5

教师边解释概念边完善架构图：第一，如果“进价”（成本价）为100 元，准备以150 元卖出（此为“定价”），若成交，则此时的“定价”即为“售价”；第二，若久未成交，商家准备打八折售出，则实际“售价”为120 元（“定价”150 元的80%）。此时，利润为“售价120 元-进价100 元=20 元”，利润率为20÷100=20%；第三，剩余一些尾货，商家准备在原有售价120 元的基础上再优惠30%，优惠价为原售价的70%，即120×（1-30%）=84 元。此时，商家亏本100-84=16 元，利润为负值。结构化教学将各类相关概念进行系统性地沟联，有利于学生以比较系统的视角、完整的视野整合、沟通相关知识，提升问题解决能力。

小学数学中问题解决的方法非常多，但这些方法都内隐在知识和知识的获取过程中，内隐在问题解决过程中，都是“缄默”的。正因其“缄默”，所以教师要让信息处理方法可言传、能操作，指导学生从问题情境的信息处理开始，掌握这些方法，让内隐的“缄默”显性化，并且形成一定的处理策略，提升学生问题解决的能力。