高考数学中数形结合思想的研究及启示

才让当知

（甘南自治州合作市高级中学 甘肃甘南 747000）

数形结合的思想在我们高中数学是非常重要的思想之一，简单来说就是数与形的有机地结合来解决问题，达到数与形的完美地结合，以数制型，以形得数。数学是以“数”与“形”为基本研究对象的自然科学，该学科内容在现实生活中得到广泛应用的同时，也对社会发展发挥着重要的推动作用。将图形和数式进行相互的转化，可以让获取的数量关系更加精准，以便得出准确的数字结论。数形结合思想实现了数学信息的相互转化，为学生解题提供了新的解题方法。通过数形结合思想，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机地结合起来，促使抽象思维与形象思维完美地统一起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

一、数形结合思想的意义

（一）化抽象为形象

随着我国教育水平的不断发展和要求，数学作为学生高中阶段的基础学科，教师要创新教学模式来适应时代发展对学生数学素养提出的新要求。在高中数学教学中，教师要改变传统的数学教学模式，将教学的重点放在对学生理解能力和应用能力的培养上面。教师可将数形结合的思想灵活应用于教学的各个环节，让学生能够真正实现对数学概念的内化，使其根据数学知识构建出对应的数学图像。与此同时，采用该方法，可以让学生解决问题的道路更加宽广。原本抽象的问题内容也会变得更加简单，学生图形与数式相结合的能力也会有所提升。另一方面，通过将高考与该思想结合，学生的想象能力、思维能力以及抽象能力都可以得到有效培养，在层层递进的推理关系中，学生的思维能力也会得到极大拓展[1]。

（二）有助于初高中知识的衔接

数形结合的思想在高中数学教学中的渗透，能够让学生尽早树立数形结合的意识，使其在未来的学习中有更好的方式解决问题，实现初高中知识的有效衔接，也让高中知识和初中知识可以融会贯通。初中阶段的数学知识抽象性较强，且概念性也比较突出，解题方法的模仿性方面也很强，教学的实际中，需要学生具备较强的思维能力、空间构造能力与计算能力等。学生历经必要的过渡期之后，数学学习过程也就会更加顺利，数形结合思想也能够让学生对数学知识的认知更加深刻。

（三）有助于培养学生解题意识

数形结合意识在学生脑中的渗透绝不仅仅是简单的理论讲解即可，而是需要教师将其应用到实际的教学中，让学生能够洞悉数形结合思想的深意，学会分析问题并解决问题。在教师潜移默化的培养下，学生也能学会立足于不同视角，去分析数学问题，将解题中的障碍一一扫除。经过实际的教学来看，将数形结合思想运用于数学解题中，可以让学生对较为抽象的数学知识更加了解，也可以进一步深化学生的应用数形结合思想解题的意识[2]。

（四）有助于提升学生应用能力

数形结合的思想在学生学习中的渗透绝不是一朝一夕可以完成的，学生也无法在短时间内形成一种超能力。想要培养学生的数形结合意识，就需要教师真正将数与形能够结合起来，让学生可以应对数学问题。另一方面，教师还要将数形结合的思想渗透于学习的全过程中，让学生的学习负担能够减轻，并进一步提升学生的主动性与积极性。

二、高考数学数形结合思想的渗透

例1：（2017年全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=ax2-axxlnx，且f(x)≥0。

（1）求a。

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e-2＜f(x0)＜2-2。

分析：针对本题的求解主要思路如下：第一，已知条件提到f(x)≥0是恒成立的，一般这类题型需要求出a的取值区间。根据题干，由于本题要求明确a的值，所以可对函数f(x)图像和x轴的关系进行预判，即相切，并且切点之外的所有点都应该落于x轴的上方，所以迁移分拆的两个函数图象也具备同样特征；第二，f(x)有唯一极大值x0存在，这就代表该函数有三个单调区间，图象最终呈现为“N”或“反N”型；第三，最后想要证明不等式成立，就需要参考已经求出的数值和已证结论，选择适宜的方法。

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且只有两个零点；

（2）假设x0是f(x)的零点之一，证明y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex2的切线。

分析：根据本题已知的条件，完成（1）的求解时，可采用下列三种方式解，具体如下。

第一种思路：学生可以先求出f(x)的导数，再参照定义域来对函数单调性进行斟酌。学生可以先画出f(x)的图形，选择部分较为特殊的函数值，根据零点存在定理，来验证函数f(x)有且只有两个零点。在实际的求解中，大部分考生可能因多种原因，并没有想到将函数画出图形。事实上，根据函数的图像，才更容易联想到一些具有特殊性的数值。在考生熟知且和题目密切相关的内容辅助下，解题过程将会更加顺利。因此，我们也可以理解为图形犹如一根杠杆，具有四两拨千斤的作用，可为考生顺利求解指引方向。

第二种思路：如第一种思路，同样需要求出函数的导数，并定义域结合来对函数单调性进行预判，再画出函数图形，以此求出极值，并将其与0进行对比，得到大小的结论。随后，根据零点存在定理，来验证函数有且只有两个零点。在实际的解题中，需要学生注意的是x→0+是指变量x从0的右侧逐渐趋向于0，以此类推同理可得。这种方式是将解法1逐渐地推向于极限情形，对于解决问题可以产生直接作用，需要考生具备扎实的知识基础和较强的数学推理能力。

在对第（2）题求解时，由于函数的抽象性极为显著，并且成为了很多学生学习路上的拦路虎，所以往往是学生感到极度头疼的问题。但本题中，如果应用数形结合的思想，则可以顺利解决存在的问题。通过数形结合，原本抽象的题干意思直观地呈现了出来，并且也不再复杂，学生理解起来也更加容易。按照图象，就可以求得切线斜率是1x0，相关问题也就自然而然地解决了。

三、高考例题中数形结合思想应用的启示

（一）数学概念与数形结合思想的融合

高中数学包含的内容较为广泛，其中数学概念就占据了一定比例。可以说，数学概念是学习数学的基础，更是数学内容的基本元素，如果学生能够深入理解相关概念，有利于其对数学定理和公式的理解，也能够让学生实现从感性到理性的飞升。所以笔者从教师教学中可以将数形结合的思想运用于数学课程，给学生进行引导，让学生能够主动探寻事物内在的联系，总结其本质特征。在不断地积累和总结中，学生的表达能力可以有效增强，对此学生也能够更好地理解数学题目，对数学思想更加了解[3]。

（二）数学例题与数形结合思想的融合

高中数学教学的过程中，有效运用案例是很重要的一个部分。在案例分析中，教师可以将新知识融入其中，学生不仅可以巩固已学知识，还能够对掌握解题的技巧，以此提升自己的解题能力。数形结合思想是数学课程中的重要思想之一，想要培养学生该思想，就要将其融入例题分析中，加深学生的印象，让其知道数形结合思想应该用在哪一类的解题中，致力于提升自身的综合能力。

（三）数学实践与数形结合思想的融合

数学教学除了课堂上的集体授课，教师也会根据教学内容适当组织教学活动，以实践验证真知，在实践中获得的感悟将会更加深刻。基于数学学习目标，学生要对数形结合思想有深刻的认识，并掌握应用技巧。教师可根据学生的身心特点和爱好，开展不同的实践活动，让学生可以积极地参与进来。在不断地探索进程中，学生也可以对数形结合思想的了解更深，内心的兴趣也被激发出来，调动起自己的学习积极性，提升整体的教学质量[4]。

（四）数学方法与数形结合思想的融合

在数形结合教学方法应用中，主要采取图形。具体来讲，数形结合教学方法的应用，借助于直观的图形表达知识点的深层含义。首先，数形结合意识是教师所具备的，教学工具主要采取的是图形，对学生的图形感知能力进行培养：学生遇到数学问题时.首先分析采用数形结合方法是否可以对这道题进行解决.将问题中隐藏条件给找出来，对相应的图形进行绘制，这样方可以正确解题。那么教师就需要对学生的数形互译能力进行培养；教师还可以应用先进的多媒体技术，将数形转化过程展示给学生，促使学生空间立体思维能力的提高。

（五）提升学生数形结合的综合能力

对学生数形转化和整合能力进行训练。如果学生已经具备基本绘图能力，那么就需要引导学生转化和整合数形，将数形转化的方法传授给他们，用数解形，或者用形来助教。数解形就是数量化高中数学中的集合问题。通过数的计算或者简化.对数学中的几何问题进行处理。向量法、三角方法和解析法等都可以来处理高中数学知识中的几何问题。比如，借助于向量法对几何问题进行解决.构建图形，就有一种对应关系形成于平面向量和坐标之间，可以更好地进行数的计算，降低问题难度。

（六）结合信息技术，培养核心素养

目前，很多高中生在数学上都有一定的“畏难心理”。这是因为高中数学知识具有很强的逻辑性和理论性，很多数学教师不知道如何通过适当的方法降低学生学习理论知识的难度。高中数学知识的逻辑性导致很多缺乏抽象思维的学生学习困难，针对这种问题，教师充分发挥现代信息技术的作用，通过视听化教学语言的设计，使抽象的数学知识更加形象化，这样不仅能够深化学生的知识理解，同时还能够培养学生的数形结合、空间思维等数学核心素养[5]。

以线与圆的方程式课程的教学活动为例，在本课程中，笔者运用PPT的动画效果，向学生演示了“现有的圆经过A（5，8）点和B（9，4）点，圆心在y=0线上，求圆的方程式，同时，结合CAD绘图软件，为学生制作平面直角坐标系，并通过精确的绘图方式向学生展示数学模型。这样，学生就可以在直观的数学模型的影响下深化思维，促进学生核心素养的发展。

（七）结合学生差异，培养核心素养

课堂训练对学生巩固知识很有帮助。但是在数学课堂训练活动的设计上，我们要避免学生形成疲惫感，由于学生思维能力和学习特点的差异性，教师在设计课堂训练内容的过程中也要坚持层次性的特点，逐渐提高数学训练活动的难度，通过阶梯式的数学训练内容逐步调动学生的参与度，吸引学生的注意力、培养学生参与数学训练的新型，促进高中数学教学质量的提高[6]。数形结合思想实现了数学信息的相互转化，为学生解题提供了新的解题方法。通过数形结合思想，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机地结合起来，促使抽象思维与形象思维完美地统一起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

例如，在进行“数列”课程的教学活动时，笔者为基础较差的学生设计了这样的练习：“数列的公式{an}为an=13N，找出数列的前五项”。那么学生在面对这种相对简单的数学习题时往往会产生一定的自信心，然后在此基础上逐步增加数学习题的难度，这种方式可以有效地促进学生主动锻炼自己的数学思维核心素养。对于学习能力强的学生，笔者设计了这样一个例子：“判断16和45是否是数列{3N+1}中的项目。如果是的话，请指出这两个数字是第几项？”这样，笔者在这一阶段不断提高学生的知识拓展能力，通过层层设计数学题目的方式，有效培养了学生的数学核心素养。

四、结束语

数形结合思想实现了数学信息的相互转化，为学生解题提供了新的解题方法。通过数形结合思想，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机地结合起来，促使抽象思维与形象思维完美地统一起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。由于数学知识的抽象性，常常会让学生陷入死胡同中，而这时数形结合思想的作用就被凸显了出来。在解题过程中，笔者认为学生应该演算、思考与画图同步进行，在画出和其相匹配的图形之后，利用数形结合的思想，让原本复杂的问题变得更加简单，不但可以让学生快速抓住衔接点，探寻到有效的解题思路，弄清楚问题所要求得的真相，还能够让学生在解题中不再畏惧。总之，教师在日常教学中应该将该思想和高考结合起来，培养学生的解题能力，并且提高解题的效率。