一道“不等式恒成立”问题的解答探究

安徽省合肥市第四中学 (233000) 管良梁

导数中不等式恒成立问题，对于学生而言一直都是一个难点.处理此类问题一般有两种方法：分类讨论、参数分离.学生遇到“不等式恒成立”问题，首选的方法就是“参数分离”.本文简要呈现师生应用“参数分离”解决一道“不等式恒成立”问题的思考与解答历程，尝试对这类方法进行梳理，希望能起到抛砖引玉的作用.

1 问题呈现

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a>0时，对任意x∈(0,+∞)，不等式aex+(a+1)x≥(a+1)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

2 解答探究

本题的第(1)问比较简单，学生基本能独立完成.第(1)问答案：当a>0时，单调递增区间为(-∞,-2)和(0,+∞)，单调递减区间为(-2,0)；当a<0时，单调递增区间为(-2,0)，单调递减区间为(-∞,-2)和(0,+∞).第(2)问学生解答展示：

评注：解法1在对xex+1-2x正负的判断过程中计算量较大，花费的时间较多，学生很难独立完成.

在解法1的基础下引导学生能不能通过不同的变形简化计算？

解法2虽然比解法1要简单一点，但是计算还是比较繁琐，继续引导学生变形简化计算.

评注：由于解法3在变形的过程中除以的a+1和ex都大于0，所以计算量大幅减小，从而提高了解题效率.

在解法3的提示下，有学生提出了解法4.

评注：解法4和解法3类似，在变形的过程中除以的a+1和ex都大于0，所以计算量也大幅减小，解题效率也得以提高.

3 解后反思

相比较而言解法3和解法4，虽然没有分“干净”，但是解答起来比较方便.所以遇到此类问题时，需要我们结合条件观察不等式的结构特点，选择合适的分参方式，简化计算，提高解题效率.