赏析高考试题，感悟解几本质*

江苏省扬州市新华中学 (225009) 王梅蓉

江苏省扬州中学 (225009) 戚有建

很多高考题看起来很平凡，实际上却平而不凡、丰富多彩，都是专家经过精心思考编制出来的，是专家智慧的集中体现，所以有很大的研究价值，本文从2021年新高考Ⅰ卷的一道解几题出发，首先研究问题的各种解法，然后对问题进行了推广研究、类比，最后给出结论的相关应用．

一．考题展示

点评：本题是2021年新高考Ⅰ卷的21题，是压轴题、选拔题.第(1)问学生很容易上手，先确定曲线的类型，再确定基本量.第(2)问实际上是个定值问题，意在考查用方程来研究曲线的性质，即用代数方法(坐标法)来研究几何问题(定值问题).本题看起来很平凡，实际上却有一定难度和区分度，有很大的研究价值，我们重点研究第(2)问.

二．解法研究

即cos2θ=cos2β，∵θ≠β，∴cosθ=-cosβ，∵k1≠k2，∴k1+k2=0.

点评：解法2是借助直线的参数方程来处理，其中参数t的几何意义是关键，但2017版新课标对直线的参数方程不做要求，所以学生不容易想到这个方法.

点评：解法3是构建二次曲线系来处理问题，运算量大大简化．因为该二次曲线系(即①式)表示圆，所以等式的左边应该不含xy，所以k1+k2=0．解法3是站在方程的高度来处理几何问题，充分体现了解析几何的基本思想.

三．研究推广

题目中|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|实际上相当于A,B,P,Q四点共圆，将本题推广为一般双曲线可得如下结论：

将结论1中的“双曲线”改为“椭圆、抛物线”，结论成立吗？研究后发现仍然成立，即有下面结论：

结论2 已知两条直线y=k1x+b1,y=k2x+b2与圆锥曲线ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)交于四个点A,B,P,Q，则A,B,P,Q四点共圆的充要条件是k1+k2=0．

结论1、结论2的证明过程与上面类似，从略．

四．结论应用

解析： (1)y2=4x(过程从略).