一道南京市高三调研试题的探究

福建省莆田第十中学 (351146) 林清霞

1.探究一般性结论

2 横向推广探究

以上关于椭圆的性质，对于双曲线和抛物线，是否具有类似性质？经探究，可得

以“-b2”替换上述探究中的“b2”，可得结论2.1.下面只证明结论3.1.

3.变式拓展探究

结论1.1是以左或右顶点为一个顶点的三角形的三边所在直线的斜率的一个性质，如果换为上或下顶点时，是否有相应的性质？

类似可得:

4.探究结论的应用

下面以所得到的结论解决有关问题.

例1 (2020年南昌市一模理科数学试题第20题)已知圆F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3),圆F2：(x-1)2+y2=(4-r)2.(1)证明圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；(2)已知点Q(m,0)(m<0),过点F2斜率为k(k≠0)的直线l与轨迹E相交于M,N两点，记直线QM,QN的斜率分别为k1，k2,是否存在实数m，使得k(k1+k2)为定值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

例3 (2012年第3届世界数学团体锦标赛青年组个人赛第4轮第13题)经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条弦OA和OB，若OA、OB的斜率k1、k2恰好为方程x2+4x-2=0的两个根，求直线AB的斜率k.