对一道三角形面积最值问题的探究*

重庆市合川中学 (401520) 胡学刚

内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 刘成龙

一、问题呈现

本题叙述简洁，内涵丰富，考查了解三角形、余弦定理、面积公式、函数最值、平面向量等高中主干知识，解答视角宽，具有较强的典型性和探究性，有一定难度和区分度.解决问题的关键是对模长的多角度处理，过程涉及转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想等的运用.

二、解法探究

视角1 代数运算视角

思路分析1:对向量模长直接平方,结合余弦定理和三角形面积公式求解.

思路分析3：因为已知条件可以全部转化为三角形三边的关系,所以可以直接利用海伦—秦九韶公式求解.

解法3：由解法1知,a=2,10b2+15c2=124.

评注：以上3种解法都是从代数角度出发，抓住向量模长平方的常见处理方式，结合余弦定理联立求解，属于通性通法.具体来讲，解法1直接对已知中的模长平方，利用转化与化归，将面积表示成只含一个变量的边或角的函数关系，因为转化成角较困难，所以直接转化成c或b边，再利用二次函数的最值得到求解.解法2利用了已知条件BC=2，将条件先转化为已知向量的模长后再平方，降低了运算量，与解法1本质上一样.解法3直接利用海伦—秦九韶公式，将边直接代入化简，绕开了面积公式的推导，从而简化了运算.

视角2 解析几何角度

思路分析4：因为向量具备数和形的特征，所以可以考虑建立合适的直角坐标系，利用点A纵坐标满足的不等关系求解.

图1

思路分析5：因点A坐标满足的方程可化为圆的标准方程，所以可利用A点的轨迹求解.

评注：以上2种解法均建立了坐标与面积间的关系.解法4是直接利用不等式的性质求出最大值，而解法5是利用了A点的轨迹求解，都体现了数形结合思想.

视角三 平面几何角度

思路分析6：因为BC边长度是定值，所以只要BC边上的高取得最大值即可.

解法6：由解法1得 10b2+15c2=124.在ΔABC中,过A作AD⊥BC交BC于D.

图2

图3

图4

图5

评注:以上4种解法都是从平面几何角度出发，探求三角形面积的最大值.解法6是直接设高，利用函数与方程等思想求出高的最大值.解法7-9是利用向量模长的几何意义，巧妙构造几何图形，利用数形结合等思想探究BC边上高的最大值.平面几何法构造巧妙，相比代数法和解析几何法更简单、直观，可充分发展学生直观想象、逻辑推理等核心素养.

三、问题推广

推广是数学研究的重要手段,数学的发展在很大程度上依赖于推广.数学家总是在已有知识的基础上,向未知的领域扩展,从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题具体来讲，推广是指根据问题结构或解决方法，将数学问题从一个较小的范围拓展到更大范围的研究过程.数学推广为学生提供了数学探究活动的基本方法和路径,这是因为数学推广本身就是数学研究的重要方法,数学问题推广的过程本身就是数学研究的过程.本文问题所呈现问题可推广为更一般性的结论：