渠道合作和服务下双渠道供应链的动力学分析

张亚鹏，刘雪薇

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

0 引言

随着消费者对物质水平要求的提高，消费者在消费过程中对服务的体验追求的重视程度远大于对产品价格的关注程度.服务因素已成为影响消费者购物方式选择不可或缺的因素，因此近年来通过加入渠道服务因素来研究供应链系统的相关问题成为学术界众多学者所关注的焦点[1].

众多学者从不同角度研究双渠道供应链系统中服务因素对企业生存发展的影响. Aussadavut等[2]认为价格和服务因素成为影响消费者渠道选择的主要因素. 服务的投入不仅影响消费者渠道的最终选择，甚至影响各渠道间最优定价的抉择，进而相关学者对此做了详尽的研究. Yao等[3]基于零售商共享信息研究以实现供应链双赢. Zhao[4]和Sarathi等[5]对两阶段供应链契约协调问题做研究. Li等[6]基于不同目标对双渠道供应链做分析. 王从等[7]构建考虑服务价值因素的双渠道供应链模型，通过数值模拟对其定价策略做研究. 陈兴礼[8]构建创新和服务的企业动态价格博弈，并对价格决策做了分析.Li Qiuxiang等[9]构建纳什博弈模型和斯坦伯格博弈模型研究服务水平和利润分配对系统稳定的影响. 张芳等[10]分别对集中和分散两种决策下静态和动态的双渠道供应链博弈模型做了研究. 郭战兵[11]基于消费者有限理性研究寡头博弈的动力学特征. 李亭[12]对一类多渠道供应链价格博弈的复杂动力学做了分析. 在供应链渠道合作方面，范辰等[13]考虑渠道竞争和消费者行为的渠道整合的双渠道供应链中，对定价与服务合作决策做了分析研究. 此外，曹银霞等[14]建立非线性动态古诺双寡头模型，研究其动力学特性，得出结论，极小的初值变化会导致系统产生不同的分岔. 张雅慧等[15]基于延迟有限理性建立含溢出效应的双寡头垄断市场博弈模型，研究表明：合理调整企业调整速度可使系统尽可能时间长的处于稳定状态. 赵娜等[16]在有限理性的基础上建立动态混合双寡头模型，研究发现通过使用延迟控制能使系统的混沌状态得到有效的控制.

在上述文献的基础上,本文建立具有有限理性的双渠道供应链模型.首先求解出系统的三个边界均衡点和唯一的纳什均衡点，并对其各自的类型局部稳定性进行讨论，通过数值模拟对模型复杂动力学行为作研究，将产品的销售价格、服务值和合作渠道的利润分配率作为决策变量，通过改变销售价格的调整速度、服务和合作渠道的利润分配率来研究渠道合作和服务投入对市场最终走向的影响.

1 模型

考虑制造商和零售商构成的双渠道供应链，制造商在直销渠道以价格p1向消费者销售产品，并向其提供服务水平为v1的服务.在合作渠道中，制造商将产品放在零售商店铺中进行代销[9]，设置一定的库存，允许消费者在此进行消费，这个渠道中零售商会向消费者提供相应的销售服务，但这个服务水平v2和产品销售价格p2均由制造商决定.在合作渠道中，制造商和零售商按利润分配率k∈[0,1]对利润进行分配，k值决定零售商所获的利润.但当k值太小时，零售商会不愿意与制造商合作，因而，制造商需与零售商一起协商确定k值.在本系统中，制造商和零售商均将销售价格pi(i=1,2)选作决策变量，根据文献[3-5]和实际竞争情况，可知两个渠道的需求均会受到另一渠道产品的销售价格和服务水平的影响，可得两渠道的需求函数分别为

Di=ai-bipi+τipj+δivi-εvj,i,j=1,2,i≠j

(1)

其中：ai是潜在市场的规模；bi是价格弹性系数；τi是交叉弹性系数；δi是服务敏感系数；ε是交叉渠道的服务的影响(i=1,2).

根据文献得服务水平的成本[17]为

假设制造商生产产品成本恒定，记为常数c，则直销渠道和合作渠道的利润函数πi(i=1,2)分别为

(2)

由合作结构可知制造商和零售商按分配比例值k对合作渠道的利润进行分成，制造商和零售商的利润函数如下：

(3)

对上式求其一阶偏导得制造商和零售商的边际利润为

(4)

因为在实际的经济市场中，企业间不能完全掌握对方的决策信息，假设系统中制造商和零售商均基于有限理性进行决策，根据边际利润的局部估计来确定t+1时期的产品价格.进而，引入这一动态调整机制:

(5)

其中σi(i=1,2)表示动态调整速度.将式(4)代入式(5)得以下动态博弈模型:

p1(t+1)=p1(t)+σ1p1(t)(a1-2b1p1+(τ1+kτ2)p2+ (b1-kτ2)c+δ1v1-εv2),p2(t+1)=p2(t)+σ2p2(t)(1-k)· (a2-2b2p2+τ2p1+b2c+δ2v2-εv1).

(6)

2 稳定性分析

令pi(t+1)=pi(t)(i=1,2)，系统(6)的4个均衡点分别为

其中

E0,E1,E2位于坐标轴上，称为边界均衡点.均衡点E*位于相平面(p1,p2)内部，称其为内部均衡点或纳什均衡点.为保证每个均衡点有意义，可得以上参数须满足

S:{a2+b2c+δ2v2-εv1>0, 4b1b2-τ2(τ1+kτ2)>0,a1+(b1-kτ2)c+δ1v1-εv2>0}.

(7)

系统在任一点的Jacobian矩阵为

(8)

其中

J11=1+σ1[a1-4b1p1+(τ1+kτ2)p2+ (b1-kτ2)c+δ1v1-εv2]，J12=σ1p1(τ1+kτ2)，J21=σ2p2(1-k)τ2，J22=1+σ2(1-k)· (a2-4b2p2+τ2p1+b2c+δ2v2-εv1).

将所求得的各个均衡点依次代入(8)中得以下命题.

定理1E0为不稳定结点.

证明将E0=(0,0)代入式(8)可得其Jacobian矩阵为

由于矩阵是对角阵，所以特征值为其对角线元素，分别为

λ1=1+σ1N，λ2=1+σ2M.

由σ1，σ2的非负性和N>0，M>0，可得λi>1(i=1,2)，因此E0为不稳定的结点.

证明将E1代入式(8)可得其Jacobian矩阵为

J(E1)=

特征值分别为

λ2=1-σ2(1-k)M.

结合前面参数分析可得|λ1|>1恒成立，因而只需对λ2的取值范围进行求解即可.

|1-σ2(1-k)M|<1，

可得|λ2|<1，则E1为鞍点.

|1-σ2(1-k)M|>1，

进而得|λ2|>1，则E1是不稳定结点；

|1-σ2(1-k)M|=1，

可得|λ2|=1，得E1为非双曲点.

接下来主要分析纳什均衡点E*的局部稳定性，系统在E*处的Jacobian矩阵为

(9)

其中：关系式L=M(τ1+kτ2)+2b2N，H=2b1M+τ2N均是非负的，可得其特征方程为λ2-Tr(E*)λ+Det(E*)=0，其中Tr(J*)是矩阵的迹，Det(J*)是行列式，有

(10)

(11)

基于稳定性条件可得，局部渐近稳定的充要条件是其Jacobian矩阵的特征值位于单位圆内. 由Jury判据得E*局部渐近稳定性条件为

(i)

1+Tr(E*)+Det(E*)=

>0.

(ii)

1-Tr(E*)+Det(E*)=

(iii)1-Det(E*)=

>0.

结合前面的参数分析，可看出式(ii)恒成立，因而只需验证式(i)和(iii)成立即可.针对式(iii)，若式(iii)成立，则有关系式σ1σ2(1-k)LH-2(b1σ1L+b2σ2(1-k)H)<0成立，即σ1L(σ2H-2b1)<2b2σ2(1-k)H，但其中一项因子σ2H-2b1的正负号不能确定，进而对其分情况进行讨论：

若条件(i)成立，则

4(4b1b2-τ2(τ1+kτ2))> 4b1σ1L+4b2σ2(1-k)H-σ1σ2LH(1-k)，

对其进行化简可得

(4b1-σ2H(1-k))(4b2-σ1L)> 4τ2(τ1+kτ2)，

由τi的非负性可得4b1-σ2H(1-k)与4b2-σ1L同号.

①若4b2-σ1L>0,则有4b1-σ2H(1-k)>0，可得

②若4b2-σ1L<0,则有4b1-σ2H(1-k)<0，可得

即当

4b2-σ1L>0，

且

时，或者

4b2-σ1L<0，

且

时条件(i)成立.综上所述，当且仅当三个条件同时成立时E*局部稳定.

从经济学的角度看，稳定区域指若制造商和零售商各自选择的价格调整速度(σ1,σ2)在这个区域内，经有限次博弈系统会达到稳定态，使得系统稳定发展，即此时制造商和零售商的利益均会达到最优.

基于上述对E*的局部稳定性所做的分析，可在调整速度(σ1,σ2)平面结合其稳定域的大小和形状做进一步的解释.

首先固定一组参数为a1=1.6499，a2=0.8417，b1=0.4964，b2=0.1376，δ1=0.3690，δ2=0.6022，τ1=0.2291，τ2=0.5768，k=0.0699，c=3.9649，v1=1.2169,v2=0.4900，ε=9.629000e-01，可得到如图1(a)所示的在这组参数下纳什均衡点E*相对应的稳定域，图中的灰色区域表示系统的稳定区域，而白色区域表示系统的不稳定区域.通过改变v1的值获得了三条由不同形式的曲线表示的稳定域的边界曲线，如图1(b)所示.

图1 (a)v1=1.2169时的系统关于 调整速度σ1和σ2的稳定域； (b)v1不同值对应的系统稳定域的边界曲线

从中可观察到随着参数v1的增加，系统的稳定域在σ1,σ2轴上均有一定程度的增加，而且稳定域在整体上呈现出增大的趋势，但其稳定域形状基本不发生改变，即改变v1的大小，系统的稳定域的大小会发生改变，但其形状并不受v1变化的影响.由纳什均衡点的表达式可知调整速度的改变并不影响纳什均衡点的值，但从图1中可得改变调整速度会改变纳什均衡点的稳定性.一旦调整速度σi(i=1,2)中大于等于1个的值超出稳定区域，制造商和零售商将进行无序竞争；而当σi均选择在稳定域中时系统会在有限次博弈后最终达到纳什均衡.

3 数值模拟

为研究系统分岔路径，在图1这组参数下固定v1=1.2169，可得系统在调整速度(σ1,σ2)平面上的2-D分岔图，如图2(a)所示,其中1对应了系统的周期-1区域，也即系统的稳定域，由灰色进行表示，2表示系统的周期2区域，由灰白色表示，4表示周期-4区域，由浅灰色表示，最后由黑色表示周期数目超过30的混沌区域.从中观察出σ1∈[0,0.4]，σ2∈[0,0.6].该2-D分岔图形如“牛角”状，该角状区域是排列整齐的波纹形.进一步在图2(a)基础上加入了逃逸域，通过黑白色两色将混沌和逃逸进行区分得到加入逃逸域之后的2-D分岔图，如图2(b)所示.在2-D分岔图中每个区域均被赋予不同的颜色以显示其特定的动力学行为.系统经两条路径进入混沌，一条是系统经flip分岔进入混沌，这种情况在σi(i=1,2)其中之一任意小发生.另一路径为系统先发生flip分岔至2周期，再经Neimark-Sacker分岔进入混沌.进而可看出随着σi的增加系统将经历稳定化、周期性冲击、混沌甚至消失.图中波纹处主要呈现出周期和逃逸两种状态的交替出现，若将该系统的调整速度选在此范围内将不利于各个企业的发展，甚至会使企业被迫退出市场.仔细观察图2(a)可从中发现在[0.262,0.3]×[0.118,0.134]这个小区域内可能有新的发现，对该区域进行局部放大可得图2(c)，从中可发现这是一个类似于“眼球”状的图形，可看出在这个区域内，系统只有2周期态的灰白色和逃逸态的黑色区域，且这两种状态是交替产生的.绘制为图2(c)的2-D最大Lyapunov指数图，如图2(d)所示，其表现出的动力学行为与2-D分岔图中的相吻合.在这幅图中选用更少的颜色区域即可将系统的拟周期、混沌和逃逸区域划分的很清晰.系统的周期态由白色至浅灰色的渐变色表示，拟周期由浅灰色和灰色的交界处表示，混沌则由灰色至黑色的渐变色表示，可得知在指数图中这3种状态的指数分别是小于0、等于0、大于0小于2.当其大于2时，系统处于逃逸态，此时企业会被强制性的退出竞争市场.目前由于算法的限制，在这幅图中的逃逸区域均采用黑色来统一表示.

图2 (a)2-D分岔图；(b)加入逃逸域后的2-D分岔图；(c) (a)图的局部放大；(d) (c)的2-D最大Lyapunov指数图.

在2-D分岔图中，主要选取制造商和零售商的价格调整速度σ1,σ2作分岔参数，来对其相互调整过程做详尽的分析研究.然而1-D分岔图中，可固定制造商或零售商其中之一价格调整速度来分析这种情况下另一家的动态调整过程.在这组参数下，固定σ2=0.3481，选σ1作为分岔参数，得1-D分岔图，如图3(a)所示，其相应的最大Lyapunov指数图如图3(b)所示.综合图3(a)、(b)，可观察到系统的初始状态是混沌态，但这个混沌态维持的时间极短，很快就进入周期态，当0.0017<σ1<0.0255时，系统处于稳定态，这意味着数次博弈之后p1(t)，p2(t)将会在纳什均衡点保持稳定.σ1=0.0255时系统发生分岔进入2周期；σ1=0.114时系统经Neimark-Sacker分岔进入混沌，短暂混沌之后系统重新进入周期，之后再由此态彻底进入混沌.在指数图中，当最大Lyapunov指数小于0、等于0、大于0分别对应于系统的周期、拟周期、混沌或逃逸态，系统处于混沌或逃逸时系统中的制造商和零售商均无法判断市场的真实走向，因而市场将会变得极其不稳定.

进一步选择固定σ1=0.5306，将直销渠道服务值v1选作分岔参数可得图4(a)所示的系统关于v1变化的1-D分岔图，从中可看出制造商在直销渠道的销售价格p1的分岔行为为图中的黑色曲线，其初始状态为混沌态，当3.7435时均处于混沌态.而对于合作渠道的销售价格p2的分岔行为为图中的灰色曲线，其初始态为混沌态，在3.7434.17之后变为p2=0，此时合作渠道失去存在的意义.表明直销渠道服务值过大时对合作渠道的负面影响远大于对自身的影响.而当固定σ1=0.1219，将合作渠道服务值v2选作分岔参数时可得1-D分岔图，如图4(b)所示，其初始态为混沌态，之后灰色曲线代表的合作渠道的销售价格p2进入多周期态，然后经过反flip分岔逐步进入2周期态，之后再由平行的2周期变为一增一减的2周期态经flip进入混沌.而黑色曲线代表的直销渠道的销售价格会经由反flip分岔逐步由混沌进入周期，在v2=10.44时黑色曲线变为零，即p1=0，之后将一直停留在这个状态.此时直销渠道失去意义，结果表明当合作渠道的服务投入过大时会导致直销渠道逐渐退出经济市场.综合观察图4(a)和(b)可得，当其中一条销售渠道的服务投入过大不合理时会导致另一条销售渠道逐步退出竞争市场，而自身所处的销售渠道也会逐步通过flip分岔的方式由稳定的周期态进入混沌，这将不利于竞争市场的发展.

图3 σ2=0.3481时σ1作为分岔参数的1-D分岔图及相应的最大Lyapunov指数图

图4 v值变化的单参图

固定σ1=0.1376，取k作分岔参数得图5所示1-D分岔图，观察到随k值增大，系统经历周期态和混沌态，初始态为2周期态，k=0.0223时系统经Neimark-Sacker分岔进入混沌，但这次混沌的时间不长，随k值进一步增大，系统由混沌重新进入多周期态，在历经数次的周期和混沌轮流出现后系统将彻底地进入混沌状态.其相应最大Lyapunov指数图如图5(b)所示.在这种情况下，可知当利润分配率k的值选的足够小，也即零售商所占的利润比例远远大于制造商时系统将会更容易趋于稳定的周期状态，此时也更有利于市场的稳定发展.

图5 单参图及其最大Lyapunov指数图

吸引子共存是指选择不同的初值(p1(0),p2(0))，在经有限次迭代后，会出现几种吸引子同时存在的情况.吸引盆实质上是吸引子演化的路径依赖的一种现象，即在吸引子的吸引域中任选一初始值，最终都会跑到这个吸引子上.在图3的参数下，可得一组两种吸引子共存的吸引盆的演化过程，如图6所示.深灰色混沌吸引子的吸引域为灰色区域；黑色吸引子吸引域为灰白色区域，灰黑色区域为系统逃逸域.在图6(a)中观察到吸引子的共存现象主要集中在[5,9.8]×[7.8,25]区域，为了更清晰地观察到吸引子共存的具体情况，对其进行局部放大，如图6(a)的右下角区域，通过学习可知吸引盆的形状都是一样的，因而之后在图(b)～(d)中将只对[5,9.8]×[7.8,25]区域进行吸引盆的绘制.可观察到随σ1值增加，深灰色吸引子的混沌环逐渐增大，但其吸引域在σ1≤0.1145时逐渐减小，当σ1>0.1145时其吸引域又逐步增大,而黑色吸引子周期数增加.当σ1≤0.1145时其吸引域会逐渐增大，但随着σ1进一步增加，其吸引域又再次减小.吸引子共存现象在经济学上的解释为多稳态，当系统中两家企业的初始销售价格选在这两种颜色的吸引域上时，两家企业会在市场上进行动态价格博弈，最终达到均衡的状态，而当其初始的销售价格选取在灰黑色的逃逸区域上时,市场最终会进入无序的混乱状态.

(a)σ1=0.114，(b)σ1=0.1142，(c)σ1=0.1145，(d)σ1=0.1153. 图6 吸引子共存的吸引盆演化过程

4 结语

本文研究制造商和零售商组成的具有合作和服务的双渠道供应链系统，分析了模型的均衡点的类型及其稳定性，对同组参数下的2-D分岔图、2-D最大Lyapunov指数图、1-D分岔图、奇异吸引子演化及其吸引盆演化进行了分析.研究表明：在市场竞争中当其调整速度较小时系统将处于稳定状态，且制造商和零售商能实现共赢；当调整速度较大时，系统会由周期逐步进入混沌，甚至出现吸引子共存，引起市场混乱，进而导致制造商和零售商无法掌握市场的具体情形，为使制造商和零售商利润达最优，两者均应选较小的调整速度.同时，分析直销渠道的v1的单参图可知3.7434.17之后变为p2=0，可知直销渠道价格稳定区间要大于合作渠道，且在v1>4.17时，合作渠道失去存在的意义.而分析合作渠道v2的单参图可知当v2>1.5时系统更能达稳定态，而随着v2的继续增加，当v2>10.44时,直销渠道的价格变为零，之后将一直处于此状态，同时合作渠道自身也会逐步由周期进入混沌，进而可得当任意一渠道的服务投入值取的不合理都会破坏供应链的组成结构，同时使市场变得混乱.也即只有合适的服务投入值才会有利于系统自身的稳定.此外，通过观察参数k的1-D分岔图，可得随k值的增大系统会逐步进入混沌，当k<0.0233时系统中制造商和零售商可以保持稳定的周期态，也即在合作渠道中，当零售商利润占比远大于制造商时，系统更容易趋于稳定.因此适当地加入渠道合作和渠道服务会有助于系统稳定的调节，从而促进竞争市场的稳定发展.