魏鹏云,张 琴
(塔里木大学水利与建筑工程学院水利系,新疆 阿拉尔 843300)
对于土木及水利工程类的本科生来说,基础力学的学习有不小的难度。一般高校的力学课程安排依次是理论力学、材料力学、结构力学及弹性力学,其中,理论力学的研究对象主要是刚体,而材料力学、结构力学及弹性力学针对的则是变形体。材料力学主要讲授的是杆、轴的拉、压、弯、剪、扭问题,结构力学主要针对的是平面杆件结构的内力及变形计算,弹性力学的研究对象更加广泛,获得的力学响应量的结果更加精确。
结构和构件的位移计算是力学类课程的重点教学内容,此部分内容对学生的数学及力学功底有一定的要求,因而会导致很多同学对位移计算望而生畏。比较教学法可以提高教学效果和质量,同一力学课程的比较[1]及力学类课程之间的比较是很有必要的[2]。本文以矩形等截面简支梁受均布荷载作用时材料力学、结构力学及弹性力学各自能够获得的位移解答为例,通过对比分析来探讨这三门力学在位移计算上的区别与联系,从而提升学生的学习热情,加深学生对于这三门力学课程的理解。
在材料力学中,计算梁的竖向位移(挠度)可采用挠曲线近似微分方程[3]。如图1所示,跨度为l的简支梁受均布荷载q作用,此时的简支梁用其轴线表示。简支梁的抗弯刚度为EI,截面为矩形。
图1 材料力学简支梁计算简图
(1)建立坐标系。以A点为坐标原点,水平向右为x轴正向。
(2)支座反力的求解。由对称性可知:
(1)
(3)任意截面的弯矩方程的求解。从任意位置x处截断,取左侧为隔离体可得:
(2)
(4)梁的挠曲线方程的求解。已知材料力学中等截面直梁的挠曲线方程为:
EIw″=-M(x)
(3)
将式(2)代入式(3)得:
(4)
对式(4)积分一次得:
(5)
对式(5)再积分一次得:
(6)
由简支梁的边界条件可求得积分常数c1和c2:
当x=0时,w=0,将其代入式(6),得c2=0;
将c1和c2代入式(6),可得简支梁受均布荷载作用时的近似挠曲线方程(竖向位移计算公式)为:
(7)
结构力学计算静定结构位移的一般方法是积分法。此外,对以弯曲变形为主的结构还可以将考虑弯曲变形的积分公式等效为图乘法[4]。因为简支梁是以弯曲变形为主的结构,所以用积分法和图乘法都可以进行计算。为了与材料力学及弹性力学对比,计算位移时要考虑剪切变形的影响,故本文利用积分法来进行推导。一般结构力学教材中计算的结构位移主要是某点的线位移和某截面的角位移以及相对线位移和角位移。要想获得如同材料力学一样的轴线处任意一点的位移计算的解析式,只需要让某点C的位置是任意的即可。
如图2所示,跨度为l的简支梁受均布荷载q作用,为了获得简支梁任意截面的线位移和角位移,可令任意截面C离A支座的距离为a,离B支座的距离为b,则求解出的C截面的线位移ΔC即是简支梁任意截面的线位移。简支梁的抗弯刚度和抗剪刚度分别为EI和GA,截面为矩形。
图2 结构力学简支梁计算简图
(1)建立坐标系。以A点为坐标原点,水平向右为x轴正向。
(2)写出实际荷载作用下任意截面x处的弯矩、剪力方程,做出实际荷载作用下简支梁任意位置x的示意图,如图3所示。
图3 实际荷载作用下任意位置x示意图
利用截面法从x截面截断,取左部分为隔离体,可得弯矩方程和剪力方程。
弯矩方程:
(8)
剪力方程:
(9)
(3)写出虚设单位荷载作用下任意截面x处的弯矩、剪力方程,做出虚设单位荷载作用下简支梁任意位置x的示意图,如图4所示。
图4 虚设单位荷载作用下任意位置x示意图