剪切效应对工字形梁弯曲挠度影响的分析

2022-02-05 02:22王骞弘
工程与试验 2022年4期
关键词:材料力学腹板挠度

王骞弘,吴 晓

(1.湖南城市学院,湖南 益阳 413000;2.湖南文理学院,湖南 常德 415000)

1 引 言

工字形梁在土木工程、铁路交通运输工程等实际工程中有广泛的应用,材料力学教材中给出了工字形梁弯曲正应力、弯曲切应力的计算公式。文献[1]对工字形截面梁弯曲切应力分布进行了讨论,文献[2]对工字形薄壁梁翼缘弯曲切应力进行了分析。文献[3]基于不同梁模型的弯曲变形分析与实验教学探讨,讨论了剪切效应对矩形截面悬臂梁弯曲挠度的影响。文献[4]用材料力学方法研究了不同模量梁的弯曲变形,分析了剪切效应对矩形截面不同模量梁弯曲挠度的影响。文献[5]、文献[6]研究了工字形连续多跨梁结构模型在力学实验教学中的应用,文献[7]讨论了工字形梁的设计。以上文献都没有讨论剪切效应对工字形梁弯曲挠度的影响,所以,研究剪切效应对工字形梁弯曲挠度的影响是有实际意义的。

2 弯曲微分方程

为了不失一般性,以图1所示工字形截面梁为例,研究工字形梁的弯曲问题。

图1 工字形梁截面

由材料力学可知,弯曲正应力为:

(1)

外载荷作用下工字形梁截面轴向静力方程为:

(2)

把式(1)代入式(2)中可得:

(3)

由弹性力学可知,工字形梁截面剪应变与轴向位移、弯曲挠度的关系为:

(4)

式中,γi为剪应变,ui为轴向位移,w为弯曲挠度,τi为剪应力,G为剪切弹性模量。i=1代表上翼缘,i=2代表中性轴以上部分腹板,i=3代表中性轴以下部分腹板,i=4代表下翼缘。

由材料力学可知,工字形腹板承担梁截面剪力的95%~97%,所以材料力学一般假设工字形梁上、下翼缘剪应力为0。因此,本文也认为工字形梁上、下翼缘的剪应力为0,即:

τ1=0,τ4=0

(5)

以图2所示的工字形梁微段为例来推导中性轴以上部分腹板的剪应力τ2。

图2 工字形梁微段

中性轴以上部分腹板轴向力为:

(6)

由于静力方程为:

N2+τ2bdx=N2+dN2

(7)

(8)

同理可得中性轴以下部分腹板的剪应力为:

(9)

把式(5)、式(8)、式(9)分别代入式(4),可得工字形梁轴向位移表达式为:

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

工字形梁轴向位移在中性轴处、腹板与翼缘的连续条件为:

y=0,u2=u3=0;y=-h1,u1=u2;y=h2,u3=u4

(11)

利用式(10)、式(11)可得:

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

工字形梁截面弯矩平衡方程为:

(14)

把式(13)代入式(14)中可得:

(15)

式(15)即为考虑剪切效应时工字形梁的弯曲微分方程。

令t1=0、t2=0时,式(15)积分后得到的矩形截面梁挠度表达式与文献[4]的式(29)是一致的,而文献[4]的式(29)已被验证其计算精度很高且与弹性理论计算结果非常吻合。

3 算例分析

本文通过两个算例来讨论剪切效应对工字形梁弯曲挠度的影响。

算例1。参阅文献[5,6]可知工字形轨道计算参数为:a=0.185m,d=0.295m,b1=2.94mm,t1=2.46mm,b=0.76mm,B=25.76mm,t2=0.88mm,h=28.66mm,E=70GPa,G=26.32GPa,l=0.48m,P=26.15N。

图3 多跨工字形梁

图3所示的工字形连续梁的静力方程为:

RA+RB+RC+RD=2P

(16a)

RBl+2RCl+3RDl=Pa+Pd

(16b)

利用奇异函数可把图3所示梁上载荷集度表示为:

q(x)=RA〈x〉-1+RB〈x-l〉-1+RC〈x-2l〉-1-P〈x-a〉-1-P〈x-d〉-1

(17)

利用奇异函数积分规则可得:

Q(x)=RA〈x〉0+RB〈x-l〉0+RC〈x-2l〉0-P〈x-a〉0-P〈x-d〉0

(18a)

M(x)=RA〈x〉1+RB〈x-l〉1+RC〈x-2l〉1-P〈x-a〉1-P〈x-d〉1

(18b)

把式(17)、式(18)代入式(15)中积分可得挠曲线方程为:

(19)

图3所示梁的边界条件为:

x=0,w(0)=0;x=l,w(l)=0;

x=2l,w(2l)=0;x=3l,w(3l)=0

(20)

利用式(16)、式(19)、式(20)可求得:

RA=0.8102P,RB=1.4284P,RC=-0.2872P,

RD=0.0487P

(21)

把有关参数代入式(19)中可得考虑剪切效应影响时的挠度为:

w(a)=5.8597P×10-6m

(22)

而忽略剪切效应影响时的挠度为:

w′(a)=5.6168P×10-6m

(23)

算例2。由文献[7]可知,图4所示工字形梁的计算参数为:t1=t2=16mm,B=b1=400mm,b=8mm,h=1000mm,E=210GPa,G=80.769GPa,l=8m,P=320kN,q=80kN/m。

图4 工字形梁

利用式(15)可求得考虑剪切效应影响时梁中点的挠度为:

(24)

而忽略剪切效应影响时梁中点的挠度为:

(25)

材料力学一般认为,梁的跨高比超过5的细长梁挠度计算可以忽略剪切效应的影响;跨高比小于5时,挠度计算才考虑剪切效应的影响。

由以上两个工字形梁的计算分析可知,即使在工字形梁是细长梁时,其弯曲挠度的计算有时也不能忽略剪切效应的影响。

由式(13)、式(15)可知,梁在外载荷作用下,分布载荷对梁的应力、挠度都有影响,而集中载荷仅对梁挠度有影响,对梁应力没有影响。

由算例1可知,采用奇异函数计算连续多跨梁的弯曲变形,计算过程清晰简便。

4 结 论

由以上分析可得以下结论:

(1)即使在工字形梁是细长梁时,其弯曲挠度的计算有时也不能忽略剪切效应的影响。

(2)梁在外载荷作用下,分布载荷对梁的应力、挠度都有影响,而集中载荷仅对梁挠度有影响,对梁应力没有影响。

(3)采用奇异函数计算连续多跨梁的弯曲变形,计算过程清晰简便。

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