“统计与概率”在小学数学教材中的编排分析

唐佳丽，李 勇

“统计与概率”在小学数学教材中的编排分析

唐佳丽1，李 勇2

（1．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；2．首都师范大学 数学科学学院，北京 100048）

以“内容分布、素材选择、编写呈现、图表分布”为分析框架，研究小学数学“统计与概率”的编排情况．内容分布的特点是以统计为主、概率为辅，年级贯穿且交替编排；对学生统计活动的训练连贯且大致呈正态分布；素材以生活学习为主，呈现方式丰富，编写上围绕问题展开探究活动，符合学生的心理特点；图表可作为广泛散布在教材中的隐性元素辅助统计与概率的教学．要注意加强统计与概率的联系形成整体观，加强“统计与概率”和其它3个领域的联系形成全局观，把握教材的层次与脉络，突出问题驱动的统计与概率的教学．

统计与概率；统计思维；教材编写；文本分析

1 问题提出

教材建设是教育改革的重要组成部分，小学数学教材是在《全日制义务教育数学课程标准》的指导下编制的，是教师理解教学内容和反映学生思维水平的重要材料，教材的编排质量也直接影响教学的质量．《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称《课程标准》）中指出“统计与概率”与“数与代数”“图形与几何”“综合与实践”构成了小学数学的4个学习领域，突出了“统计与概率”的地位，也引起越来越多教育研究者对这一领域的关注．内容研究方面，刘久成梳理了1949年以来中国小学统计教学的3个阶段的不同特点，指出新世纪初的特点是注重数据观念的培养[1]；蔺云从哲学和文化的视角探析概率统计课的独特的“育人功能”[2]；曹广福等人分析了中学数学中的统计内容，并提出教学上先后顺序的建议[3]；凌晓牧等谈论了义务教育阶段统计知识的内容定位和教材实施，提出教材中的统计图表应与时俱进[4]；刘曌等人对小学数学统计与概率进行了国际比较[5-6]；教学研究方面，李化侠等人剖析了小学统计思维的内涵及重要性，得到统计思维的测评指标[7-8]，闫炳霞指出“统计与概率”的教学难度较大[9]，高海燕等指出义务教育阶段统计与概率的研究重研教，轻研学、研评[10]；教材研究方面，刘福林采用实证方法研究了教材的使用，指出教材的编排应以发展学生数据观念为出发点[11]．

对相关文献的查阅与整理发现，目前关于统计与概率的研究中，内容、教学的研究居多，教材、评价研究较少；方法的使用中，质性方法偏多，量化研究较少，关于小学数学教材“统计与概率”的教材文本编排研究更是缺乏．综合“统计与概率”难教难学、教材的重要作用及缺乏教材文本分析的研究等诸多原因，对小学数学“统计与概率”的编排进行研究显得尤为重要．

2 研究设计

主要采用文本分析的方法对现行部编人教版小学数学教材（一年级为2012年版，二～六年级为2013年版，共12册）进行定量统计和定性分析，明晰“统计与概率”相关内容的素材选取及编排组织，呈现相关内容的分布特点，根据研究的实际呈现结果为相关内容的教材编排和教学提出合理可行的建议．

3 分析框架

确定研究问题、对象、方法后，通过对教材内容的查阅与初步整理，拟定“内容分布—素材选择—编写呈现—图表分布”为分析框架进行探析．

3.1 内容分布

对现行人教版小学数学一～六年级教材中“统计与概率”的内容进行统计，根据内容的特点和关联性将其分为明显内容和相关内容．明显内容为教材中较为明显的统计与概率内容，如统计图、表、平均数、可能性等内容；相关内容为与明显内容的关联性较强，或含有较浓厚的统计意义的内容．如“认识图形”章节是初步对图形进行分类训练，这是学习统计的必要阶段；“观察物体”首次出现了让学生用“可能”描述不确定的多种可能结果，“数学广角—搭配”进行两个数的和为某一数的搭配训练，为“可能性”的学习做铺垫；三上“数学广角—集合”在统计结果的基础上借助韦恩图进行分类整理和直观呈现；分数是后续学习概率的重要基础；“大数的认识”中的“大数”及“百分数”含有较浓厚经验的成分，是较为明显的统计推断的结果．将这些内容纳入概率与统计内容的统计，有助于总体把握统计与内容的编排分布，结果见表1．

从表1可以看出，小学阶段“统计与概率”的内容以统计为主、概率为辅，年级贯穿且交替编排．相关内容与明显内容协同配合，概率内容与统计内容相互作用，使统计与概率的内容在小学阶段同条共贯，能增强模块知识的整体性和连续性，这符合《课程标准》里的内容标准，也能克服部分教师认为教材编排不够连贯的问题[11]．《课程标准》指出，通过学习能让学生“体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象”[12]，而观念的形成、现象的感受、意义的体会非一朝一夕，需借助不同的内容载体循序渐进地养成和进行，相关内容成为了明显内容的学习的衔接点，为学生的学习搭建脚手架．

为明晰这些内容的具体编排目的，根据统计知识的特点，将表1所列内容（包含对应章节的练习）进一步细分为收集数据、整理数据、描述数据、分析数据4类过程．其中，整理数据指将收集的数据进行分类、计数、求频率等，描述数据指运用统计图、表对数据进行呈现、描述；分析数据指需要分析数据的运动变化趋势，相关知识点为平均数、最大值、最小值等．表2、图1为统计概率内容所包含过程的统计结果．

表1 统计与概率内容的年级分布

注：正体的部分是统计与概率的明显内容，斜体的部分是与统计与概率关系密切的相关内容．

表2 教材“统计与概率”内容的过程类别统计

图1 统计类别总数的年级分布

从统计过程类别看，表2所列内容包含的整理、描述、分析数据3类统计过程活动的数量大致相当，收集数据的次数约为其一半，即收集、整理、描述、分析数据的次数比约为1∶2∶2∶2．考虑到收集数据耗时，但又是学习统计与概率的重要内容，用相当数量的实践让学生体验收集数据的过程既达到了训练的目的，也考虑到了教学的实际情况．同时应注意不同年级的统计活动的要求具有层次性．如收集数据，低年级为普查数量小的总体，三年级下册出现抽样调查，且教材是直接指出了方法（有提示的抽样）：请在三年级和五年级各选一个班……高年级抽样则需要学生自己考虑，如调查学校一至六年级学生近视的情况……不同的学生采用的抽样方法可能不用，从而培养收集“好数据”的意识．

从年级看（图1），四年级是包含统计活动相对较多的一个年级，除一年级外其余年级的统计活动总数相差不大，总体而言，教材编排对学生统计活动的训练连贯且大致呈正态分布．低年级侧重整理数据的训练，中年级较为兼顾并逐步向分析数据侧重，高年级侧重分析数据的训练．从二年级下册起，统计过程的类别开始丰富，统计活动逐步趋于完整，开始让学生经历统计活动的全部过程，这与史宁中提出的“统计与概率的教学要学生经历统计的全过程”的理念[13]是一致的．

3.2 素材选择

教材中“统计与概率”知识（表1）选择的素材可分为学习生活和社会知识与常识两类，学习生活指学生的学习生活环境中的素材，如学生的身高、体重、兴趣、成绩等，社会知识与常识指通过呈现或统计内容让学生了解社会或其它学科的知识，如上海市人口、国家获得金牌数、动物的平均寿命、空气成分等．统计结果见图2、图3．

图2 素材类别分布

图2结果显示，总体上教材有关内容主要选自学习生活的素材（约占82%）．低年级的素材全部取自学生的学习生活情境，三年级开始逐步利用社会知识与常识的素材向学生传达必要的社会、学科知识，但素材还是以学习生活为主，高年级的学习生活和社会知识与常识的素材近乎平分秋色．低年级的学生关注身边的事物，学习生活的素材能让学生感受数学与生活的密切联系，随着年级的升高，社会知识与常识的材料能增进学生对社会的了解，拓宽视野．同时，这些素材也能成为小学生德育的良好途径，渗透环保意识（水资源、土地资源素材等）、生活教育（作息时间、营养午餐搭配、近视调查等），培养爱国情怀（奥运奖牌获得等）．

3.3 编写呈现

概率与统计的思维方式不同，但在教材的编写和呈现方式上大同小异．下以三年级下册第三章“统计”的第一课时“复式表”为例详细说明教材的编写模式和呈现风格．

“复式表”这一课时由问题“你最喜欢下面哪种活动？”引出，提供“看书、看电视、踢足球、画画、玩电子游戏、跳绳”6种学生常见活动的实物图片，并给出提示语提示学生统计本班同学活动喜好情况，体验收集数据、整理数据（按性别分类）的过程．接着分别呈现两个表格以描述男生、女生最喜欢的活动，并设置两个问题“从上面表中，可以知道哪些信息？”“这两个表有什么不同点？”第一个问题旨在训练学生从表格获取信息的能力，第二个问题则引导学生关注知识间的异同，在已有描述数据的基础上再次整理，寻找更简洁呈现信息的方法．从而引出复式表对两组数据进行同时描述，便于比较．接着用3个问题承接复式表，一是训练学生读表的能力，二是感受复式表的优点．最后用“做一做——调查本班同学最喜欢下面哪种电视节目”帮助学生巩固．“做一做”与探究的活动具有相同的结构，解决过程或方法可以模仿，也可以创新，这也为不用层次的学生提供了不同的发挥空间．

上述编排过程具有以下两个特点：在教材呈现方面，教材采用丰富多彩的物图来吸引学生注意，利用颜色来区分不同内容，引导学生观察、整理、理解，同时充分利用必要的提示语和若干层次性的问题来推动学生思考；在编写模式方面，教材采用了贴近学生生活的活动探究，搭配“做一做”巩固问题解决的策略性知识[14]．整体编排大致为“问题情境—体验探索—解释、应用”的模式，注重过程的体验与对方法的理解．美中不足的是未涉及拓展，比如可以在“做一做”的最后一问加上“你还可以用不同的分类进行统计吗？”一来启发学生思维，二来能对统计和复式表描述数据有更多的思考和理解．

3.4 图表分布

图表作为教材中编排统计与概率更为隐性和分散的元素，应当引起重视．图表在日常生活中是十分重要且常见的信息整理、获取方式．教材中的图表同样有记录、整理、呈现及利用图表进行描述、推断的作用，每个图表都隐含着学生不同程度的思维操作或实践操作过程，故有必要对教材图表进行统计，从而窥探教材对学生思维和实践训练的编排特点．下分表格和统计图两类进行统计分析，根据表格在小学数学教材中的呈现形式将表格分成普通表格、复式表格和物图表格（指表格中含有实物图片）．将统计图分为条形图、折线图、扇形图．图4、图5为统计结果．

图4从整体上看，教材中含有数量较多的表格且随着年级的增大，学生接触的表格越来越多，在四年级的教材中表格出现的次数最多，而后又逐渐减少，六下的最后一章为整理与复习，里面为之前学过的内容，出现了较多表格．这与图1表示的明显内容和相关内容（合称显性内容）的统计类别总数的分布基本一致，故可以大致得到结论：从总体上，隐性元素表格隐含对学生的训练与显性内容相配合，基本保持一致．分类别看，普通表格在每册都有出现，且在表格中所占比例最高；物图表格在每个年级都有呈现，且在低年级占所在年级的比例相对较高，较符合低年级学生的特点；复式表格为三下的学习内容，出现在三～五年级，较好地进行了巩固．

注：只有三年级下册的一个复式表格同时是物图表格，在统计中既算作复式表格，也算作了物图表格．

图5 统计图的年级分布

图5显示了教材从四上开始正式学习统计图，在此之前仅二上出现了一个条形图，且不同统计图在教材中的呈现具有不同特征，中低年级的统计图相对单一，高年级的统计图相对丰富．从作用看，呈现数据的统计图比补全统计图的数量多，且出现的年级更广，而补全图形仅出现在对应的年级章节里，说明教材对学生绘制统计图的要求较低，更重视对统计图的理解和对数据的分析、推断．

进一步窥探图表背后的统计活动和作用，将表格在教材中的作用分为收集数据、收集数据并求答、呈现信息、呈现信息并求答4类，其中收集数据并求答包括收集、整理、描述数据等活动；呈现信息并求答包含了获取信息、整理或分析数据的活动．将图表（包括统计图和统计表）所在位置分整理与复习、练习、新授3类．其中整理与复习中的图表主要用来整理所学知识；练习中主要用来呈现必要的题目背景或题目信息；新授中主要用来提供教学背景或教学信息．因复式表在教材出现较少，故表格按有无实物图片分无物图表格和物图表格两类进行统计．表3、图6为相应的统计结果．

表3 表格作用的年级统计

注：六年级下册第6章“整理与复习”里的所有图表，均算作整理与复习．

图6 各年级统计图表的位置分布

由统计可知，更具直观性的物图表格主要出现在中低年级，符合学生特点．小学数学教材中的336个表格作用集中在呈现信息和呈现信息并求答．分别有135个无物图表格（约40%）、21个物图表格（约6%）用来呈现信息，共占比约46%，110个无物图表格（约33%）和7个物图表格（约2%）用来呈现信息并求答，共占比约35%．其余17%的表格用来收集数据，仅2%的表格用以收集数据并求答，且无收集数据并求答的物图表格．说明教材中的表格主要是用来提高学生获取信息的能力，兼顾锻炼学生收集数据、整理数据、分析数据的能力，同时为学生整理、描述数据提供大量示范案例和练习．教材中的图表主要集中在练习中，其次是新授、整理与复习中．一上和六下主要用于整理与复习，一上是让学生大致感受图表的好处，如整理加法公式时应尽量将公式摆得“有规律”；六下是整理知识，完善学生认知结构，其它年级主要用于练习和新授．教师在教学过程中应充分把握不同位置图表的作用，在日常学习中渗透统计观念，培养统计思维．

4 结论与讨论

4.1 结论

（1）小学阶段“统计与概率”的内容以统计为主、概率为辅，年级贯穿且交替编排，具有层次性．教材对学生统计活动的训练编排较为连贯且大致呈年级正态分布．

（2）素材以生活学习为主，中高年级逐步增加社会知识与常识的素材，符合学生的发展规律．

（3）教材呈现方式丰富，编写模式按“问题情境—体验探索—解释、应用”展开，重视学生活动体验，但可根据内容适当增加拓展．

（4）教材中分散在各册的图表主要在练习和新授中，用来提高学生从图表中获取信息的能力，形成数据直觉．

4.2 讨论

以联系的观点看待统计与概率的相关知识，这里包含了两层含义．第一层含义，以联系的观点看待统计与概率，要有整体观．一方面，概率是推断统计的理论基础．概率是在给定条件的情形下生成、研究数据；推断统计则是根据已有的数据反向推测数据来自何种情形．另一方面，在教学中二者应相辅相成．概率的教学里含有丰富的统计活动，学习过程中让学生获得“尝鼎一脔”的成就感，而统计的教学也包含对不确定性的感受，有“悬而未决”的紧张感，教学中可相互成就．第二层含义，以联系的观点看待“统计与概率”和其它3个领域的知识，要有全局观．“统计与概率”的知识与“数与代数”“图形与几何”的知识有较大的区别，是“不确定性”的教学．一方面，从统计的角度看其它领域的知识，可以丰富知识的涵义．另一方面，在其它领域的知识学习中，融入统计与概率的活动和思想也是较为高明的选择．

把握教材的层次与脉络，促进统计思维的形成与发展．教材对不同内容的处理具有层次性，统计内容的整体脉络为描述统计到推断统计．相应在编排上，数据收集方法从普查、有提示的简单抽样到无提示的简单抽样；数据描述方式从表格（简单、复式两种）、条形图（简单、复式两种）、折线图（简单、复式两种）到扇形图；数据分析从最多、最少的分析发展到用平均数代表总体、趋势预测等．查其层次脉络后，进一步思考为何如此．如整理数据时为何要分类，有何标准？其实分类的过程是对事物共性的抽象过程[12]，“区异求同，自然类成”．而分类的标准则是根据需要关注物体间某一“异”的数学属性及其所有的取值[15]，周密思考．如关注三角形角的关系，可将三角形分成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；关注三角形边的关系，可将三角形分为普通三角形、等腰三角形、等边三角形等．需要深入思考的问题还有很多，如为何要抽样收集数据？怎样抽样更合理？众多的图表有何特征？如何合理选择图表描述数据？教师只有不断地思考为何，才能精准把准知识背后的道理，才能在教学的细节中促成学生的统计思维．

注意素材的选择与组织，突出问题驱动的概率统计教学．教材中“统计与概率”的编排采用问题引出的探究，较符合知识特点．但教材中收集数据的训练大多是通过直接的指令，如调查本班最喜欢的电视节目、最喜欢什么交通工具等．关于为何调查教材提及较少，而为何统计是培养统计观念和意识的关键一步，仅指令式的展开统计活动对学生是无益的．所以教师在处理教材时应当充分发挥学生的主观能动性，将问题转化为现实需要引发的统计活动的问题，引发学生自发收集相关数据以解决问题，如设置问题：“小明每天都跟姐姐抱怨家庭作业太多，要花两个小时才能完成，如果你是小明的姐姐，你会怎么办？”另外，教材中的生活素材是否能引起学生积极参与，是否能适应信息时代的要求，相同活动、不同程度的素材是否有利于学生对知识的认知，这都是可以进一步探究的方向．

“统计与概率”不仅是重要的数学学习内容，更重要的是它的思想早已应用在生活学习的方方面面，诚如C·R·劳所说：“在理性的基础上，所有的判断都是统计学．”[16]尤其随着智能教育时代的到来，小学阶段更应该关注对学生智慧的培养．让学生有“窥一斑而知全豹”的意识和能力，是需要不懈努力的方向．

[1] 刘久成．小学统计教学六十年发展研究[J]．数学教育学报，2011，20（5）：28-31．

[2] 蔺云．哲学与文化视角下概率统计课的育人功能[J]．数学教育学报，2002，11（2）：24-26，102．

[3] 曹广福，张蜀青，罗荔龄．中学数学中统计内容的问题与建议[J]．数学教育学报，2018，27（6）：7-12．

[4] 凌晓牧，章飞．初中阶段“统计与概率”课程内容的几点建议与调查[J]．数学教育学报，2019，28（4）：77-80，98．

[5] 刘曌，杨光伟，唐恒钧．中日两国小学数学课程统计与概率的比较研究[J]．数学教育学报，2013，22（3）：63-66．

[6] 王建波，杨小丽．初中数学教材统计内容比较研究的几点启示[J]．中国数学教育，2017（17）：61-64．

[7] 李化侠，宋乃庆，杨涛，等．学习进阶测评工具研发：以小学生统计思维为例[J]．华东师范大学学报（教育科学版），2020，38（4）：72-82．

[8] 李化侠，辛涛，宋乃庆，等．小学生统计思维测评模型构建[J]．教育研究与实验，2018（2）：77-83．

[9] 闫炳霞．小学数学“统计与概率”教学中的问题研究[D]．重庆：西南大学，2007：40．

[10] 高海燕，巩子坤．义务教育阶段统计与概率教学研究的进展与问题[J]．数学教育学报，2010，19（3）：12-14．

[11] 刘福林．论小学生的数据分析观念与统计内容的编排[J]．课程·教材·教法，2013，33（10）：41-46．

[12] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社，2001：4-5．

[13] 史宁中，孔凡哲，秦德生，等．中小学统计及其课程教学设计——数学教育热点问题系列访谈之二[J]．课程·教材·教法，2005，25（6）：45-50．

[14] 陆明明．数学教科书例题的分类及其教学建议[J]．数学教育学报，2018，27（2）：54-58，102．

[15] 郑毓信．数学思维与小学数学[M]．南京：江苏教育出版社，2008：34-41．

[16] 劳C R．统计与真理——怎样运用偶然性[M]．北京：科学出版社，2004：中文出版说明．

Arrangement and Analysis of “Statistics and Probability” in Elementary Mathematics Textbooks

TANG Jia-li1, LI Yong2

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. School of Mathematical Sciences, Capital Normal University, Beijing 100048, China)

Taking “content distribution, material selection, writing and presentation, and chart and table distribution” as the analysis framework, this article studies the arrangement of “statistics and probability” in elementary mathematics textbooks. Content distribution is characterized by mainly statistics supplemented by probability, across all grade levels and alternate arrangement; The training of students’ statistical activities in the textbooks is coherent and generally distributed normally; The materials mainly based on life and learning and are presented in a rich way; In the compilation, the inquiry activities are carried out around the problem, which is in line with the psychological characteristics of the students; Charts and tables can be used as implicit elements widely distributed in textbooks to assist the teaching of statistics and probability. It is necessary to strengthen the connection between statistics and probability to form a holistic view, strengthen the connection between “statistics and probability” and the other three fields to form a global view, grasp the level and arrangement of textbooks, and highlight the problem-driven teaching of statistics and probability.

statistics and probability; statistical thinking; textbook compiling; text analysis

G623.5

A

1004–9894（2022）01–0059–05

唐佳丽，李勇．“统计与概率”在小学数学教材中的编排分析[J]．数学教育学报，2022，31（1）：59-63．

2021–10–09

唐佳丽（1995—），女，湖南邵阳人，博士生，主要从事数学教育教学研究．

[责任编校：陈隽、陈汉君]